【正文】 很高興能在你的班上學(xué)習(xí)這門課，我想我會(huì)永遠(yuǎn)記住您那一個(gè)個(gè)寧人忍俊不禁的冷笑話。然后對(duì)于書上花了很大的篇幅寫的matlab實(shí)驗(yàn)，我覺(jué)得這是好事，但是在教學(xué)中老師是不會(huì)教我們的，因?yàn)檎n時(shí)有限，這是情理當(dāng)中的，但是作為學(xué)生，我覺(jué)得應(yīng)該好好地利用書上的資源，單靠做練習(xí)的筆頭功夫是難以解決實(shí)際問(wèn)題的。對(duì)于后來(lái)學(xué)的，應(yīng)該多翻翻書看看前面是怎么說(shuō)的，往往前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容是為后面做鋪墊的，所以在學(xué)了后面的知識(shí)后，再看前面的知識(shí)，會(huì)對(duì)前面的知識(shí)有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，會(huì)更好的加深對(duì)它的理解和記憶。前面的知識(shí)是后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，如用初等變換求矩陣的秩熟練與否，直接影響求向量組的秩及極大無(wú)關(guān)組，進(jìn)一步影響到求由向量組生成的向量空間的基與維數(shù)；又如求解線性方程組的通解熟練與否，會(huì)影響到后面特征向量的求解，以及利用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型等。如矩陣的秩與向量組的秩的聯(lián)系：矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩；矩陣行(列)滿秩，與向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)也有一定的聯(lián)系。當(dāng)然在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們應(yīng)該具備能夠整體把握老師所講重點(diǎn)的能力，注意各個(gè)章節(jié)的聯(lián)系。所以在改革中，應(yīng)該拿線性方程組為應(yīng)用的實(shí)例，來(lái)一步一步的解剖概念和定理。在線性方程組的求解過(guò)程中，我們運(yùn)用了矩陣的行變換來(lái)求基礎(chǔ)解系，當(dāng)然這就相當(dāng)于求極大無(wú)關(guān)組。然后對(duì)于教材內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)，我覺(jué)得應(yīng)該放在線性方程組這一塊，因?yàn)樗瞧渌麊?wèn)題的引出點(diǎn)，不管是矩陣，行列式，還是矩陣的秩和向量空間，都是為線性方程組服務(wù)的?？傮w看來(lái)，我們使用的課本題型簡(jiǎn)單易懂，非常適合初學(xué)者學(xué)習(xí)。再者，在自身學(xué)習(xí)過(guò)程中，我想說(shuō)明的是，大學(xué)里的學(xué)習(xí)是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老師只是起到一個(gè)引導(dǎo)作用。當(dāng)然，若果能通過(guò)改革，增加課時(shí)是最好不過(guò)了。再就是線性代數(shù)的課時(shí)少，這是一個(gè)客觀存在的原因，所以更要精講。老師可以自己選一些經(jīng)典的例子來(lái)講，而不一定要講書上的例子。而行列式和矩陣有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)具體的數(shù)值，并且行列式的行數(shù)和列數(shù)必須是相等的。老師在教學(xué)中，也應(yīng)該以一些具體的實(shí)例入手來(lái)教學(xué)，如果脫離了實(shí)際應(yīng)用，只是講抽象的概念和式子，是很難明白的，并且有實(shí)例的對(duì)照，可以加深記憶理論知識(shí)?？v觀一年大學(xué)的學(xué)習(xí)和生活，特別是在線代的學(xué)習(xí)過(guò)程中，實(shí)在是感慨頗多。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化及正交變換相似于對(duì)角陣，反過(guò)來(lái)，可由A的特征值，特征向量來(lái)確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對(duì)稱陣，利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，有時(shí)還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對(duì)應(yīng)的特征向量，用矩陣的方法研究二次型的問(wèn)題主要有兩個(gè)：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法（這和實(shí)對(duì)稱陣正交相似對(duì)角陣是一個(gè)問(wèn)題的兩種提法），在沒(méi)有其他要求的情況下，用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些；二是二次型的正定性問(wèn)題，對(duì)具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來(lái)判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時(shí)，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。關(guān)于特征值、特征向量。行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián)系的，例如∣A∣≠0〈===〉A(chǔ)是可逆陣〈===〉r（A）=n（滿秩陣）〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組線性無(wú)關(guān)〈===〉A(chǔ)X=0唯一零解〈===〉A(chǔ)X=b對(duì)任何b均有（唯一）解〈===〉A(chǔ)=P1 P2…PN，其中PI（I=1，2，…，N）是初等陣〈===〉r（AB）=r（B）A初等行變換 I〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組是Rn的一個(gè)基〈===〉A(chǔ)可以是某兩個(gè)基之間的過(guò)渡矩陣等等。用初等行變換是求向量組的極大無(wú)關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無(wú)關(guān)），線性表出等問(wèn)題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過(guò)程中邏輯的正確性及反證法的使用。矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運(yùn)算，其運(yùn)算分兩個(gè)層次，一是矩陣的符號(hào)運(yùn)算，二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算。 方正A可逆的充分必要條件是A可以寫成有限個(gè)初等矩陣的乘積。 對(duì)矩陣Amn 做一次初等變換相當(dāng)于在矩陣Amn 的左側(cè)乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)矩陣Amn 做一次初等列變換想到與在矩陣Amn 右側(cè)乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。 初等矩陣都是可逆的。（2）p=正特征值的個(gè)數(shù)，q=負(fù)特征值的個(gè)數(shù)，p+q=非零特征值的個(gè)數(shù)=r（A）（三）合同矩陣定義：A、B均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同△總結(jié)：n階實(shí)對(duì)稱矩陣A、B的關(guān)系（1）A、B相似（B=P1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負(fù)慣性指數(shù)←→相同的正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)（3）A、B等價(jià)（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：實(shí)對(duì)稱矩陣相似必合同，合同必等價(jià)（四）正定二次型與正定矩陣正定的定義二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定矩陣。慣性定理：二次型無(wú)論選取怎樣的可逆線性變換為標(biāo)準(zhǔn)形，其正負(fù)慣性指數(shù)不變。★（2）正交變換法：通過(guò)正交變換x=Qy，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n個(gè)特征值，Q為A的正交矩陣注:正交矩陣Q不唯一，γi與λi對(duì)應(yīng)即可。注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值λi的特征向量相似對(duì)角化的充要條件（1）A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量（2）A的k重特征值有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量1相似對(duì)角化的充分條件：（1）A有n個(gè)不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)）（2）A為實(shí)對(duì)稱矩陣1重要結(jié)論：（1）若A可相似對(duì)角化，則r（A）為非零特征值的個(gè)數(shù)，nr（A）為零特征值的個(gè)數(shù)（2）若A不可相似對(duì)角化，r（A）不一定為非零特征值的個(gè)數(shù)（四）實(shí)對(duì)稱矩陣1性質(zhì)（1）特征值全為實(shí)數(shù)（2）不同特征值的特征向量正交（3）A可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣P使得P1AP=Λ（4）A可正交相似對(duì)角化，即存在正交矩陣Q，使得Q1AQ=QTAQ=Λ二次型（一）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二次型：（1）一般形式（2）矩陣形式（常用）標(biāo)準(zhǔn)形：如果二次型只含平方項(xiàng)，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形（對(duì)角線）二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：（1）配方法：通過(guò)可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。（3）上（下）三角或主對(duì)角的矩陣的特征值為主對(duì)角線各元素。注:特征方程可以寫為|AλE|=0重要結(jié)論：（1）若α為齊次方程Ax=0的非零解，則Aα=0特征多項(xiàng)式、特征方程的定義：|λEA|稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式（λ的n次多項(xiàng)式）。任意nr（A）個(gè)線性無(wú)關(guān)的解均可作為基礎(chǔ)解系。C=（α1，α2，…，αn）1（β1，β2，…，βn）（六）Schmidt正交化1Schmidt正交化設(shè)α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)（1）正交化令β1=α1（2）單位化線性方程組（一）方程組的表達(dá)形與解向量解的形式：(1)一般形式(2)矩陣形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）解的定義：若η=（c1，c2，…，）T滿足方程組Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個(gè)解（向量）（二）解的判定與性質(zhì)齊次方程組：（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個(gè)數(shù)）（2）有非零解←→r（A）＜n非齊次方程組：（1）無(wú)解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）1（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）無(wú)窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n解的性質(zhì)：（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1η2是Ax=0的解【推廣】（1）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，則k1η1+k2η2+…+ksηs為Ax=b的解（當(dāng)Σki=1）Ax=0的解（當(dāng)Σki=0）（2）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的s個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則η2η1，η3η1，…，ηsη1為Ax=0的s1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。C=（α1，α2，…，αn）1（β1，β2，…，βn）1坐標(biāo)變換公式：向量γ在基α1，α2，…，αn與基β1，β2，…，βn的坐標(biāo)分別為x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn，則坐標(biāo)變換公式為x=Cy或y=C1x。（2）若n維列向量α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，β1，β2，β3可以由其線性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，則r（β1，β2，β3）=r（C），從而線性無(wú)關(guān)。線性表示的求法：（大題第二步）設(shè)α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)，β可由其線性表示。1（二）線性組合和線性表示線性表示的充要條件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs線性表示(1)←→非齊次線性方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。A★（8）r（A*）=n（r（A）=n）；r（A*）=1（r（A）=n1）；r（A*）=0（r（A）＜n1）（六）分塊矩陣1分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。B）≤r（A）177。初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：（1）初等行（列）變換相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣（2）初等矩陣均為可逆矩陣，且Eij1=Eij（i，j兩行互換）；Ei1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij1（k）=Eij（k）（第i行乘k加到j(luò)）★（四）矩陣的秩秩的定義：非零子式的最高階數(shù)注：（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O（2）r（Ann）=n（滿秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；（3）r（A）=r（r=…、n1）←→r階子式非零且所有r+1子式均為0。A1(k≠0)（2）（AB）1=B1矩陣（一）矩陣的運(yùn)算矩陣乘法注意事項(xiàng)：（1）矩陣乘法要求前列后行一致；（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對(duì)矩陣不適用，但若B=E,O,A1，A*,f(A)時(shí)，可以用交換律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。（二）重要行列式上（下）三角（主對(duì)角線）行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積副對(duì)角線行列式的值等于副對(duì)角線元素的乘積乘Laplace展開(kāi)式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則n階（n≥2）范德蒙德行列式數(shù)學(xué)歸納法證明★對(duì)角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：（三）按行（列）展開(kāi)按行展開(kāi)定理：（1）任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各個(gè)元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0（四）行列式公式行列式七大公式：（1）|kA|=kn|A|（2）|AB|=|A|（5）一行（列）乘