【正文】 測(cè)試點(diǎn) 用配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形解 令，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.相應(yīng)的線性變換為，即 例5 用配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出相應(yīng)的線性變換.解 令則原二次型 其中，整理后得所作的線性變換為： 五. 慣性定律和二次型的規(guī)范形定理 任意的元二次型，一定可以經(jīng)過(guò)可逆的線性變換化為規(guī)范形 而且其中的和是由原二次型惟一確定，與所做的變換無(wú)關(guān)，為規(guī)范形中系數(shù)取的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，稱為該二次型的正慣性指數(shù)，為該二次型的秩，為為規(guī)范形中系數(shù)取的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，稱為該二次型的負(fù)慣性指數(shù).例6二次型的正慣性指數(shù)p為（　　?。〢．0 B．1C．2 D．3測(cè)試點(diǎn) 二次型的正慣性指數(shù)的概念解 1答案 B例7 3元實(shí)二次型的規(guī)范形為 【 】A. B. C. D.測(cè)試點(diǎn) 二次型的由標(biāo)準(zhǔn)形化為規(guī)范形的方法解析 因?yàn)槎涡偷囊粋€(gè)標(biāo)準(zhǔn)形為，故規(guī)范形為答案 D例8設(shè)矩陣，則二次型的規(guī)范形為（　　?。〢． B．C． D．測(cè)試點(diǎn) 化二次型為規(guī)范形的方法解法1 所以矩陣的三個(gè)特征值為原二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形為所以原二次型的規(guī)范形為 解法2 令則 所以原二次型的規(guī)范形為 .答案 C 六．正定二次型與正定矩陣1．二次型正定性的定義及其判別方法定義 元二次型和對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣1) 如果對(duì)任意的非零實(shí)向量，都有，則稱為正定（負(fù)定）二次型，稱為正定（負(fù)定）矩陣.2) 如果對(duì)任意實(shí)向量，都有，則稱為半正定（半負(fù)定）二次型，稱為半正定（半負(fù)定）矩陣.3) 其它的二次型稱為不定二次型，其它的實(shí)對(duì)稱矩陣成為不定矩陣.2．二次型正定（實(shí)對(duì)稱矩陣正定）的充分必要條件正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)＝.正定的充分必要條件是與單位陣合同.正定的充分必要條件是的所有特征值都大于零.正定的充分必要條件是的各階順序主子都大于零..3二次型正定性的判別方法元二次型正（負(fù)）定它的正（負(fù)）慣性指數(shù)＝；元二次型半正（負(fù)）定它的負(fù)（正）慣性指數(shù)＝0；元二次型不定它的正，負(fù)慣性指數(shù)都大于0.，則a的取值應(yīng)滿足_____________.解 該二次型的矩陣為,為使其正定所以a的取值應(yīng)滿足 4實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充要條件實(shí)對(duì)稱矩陣矩陣與合同當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩和相同的正慣性指數(shù).()通過(guò)上述串講，可以看出，線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題的特點(diǎn)確實(shí)是主要考核大家對(duì)基本概念，基本公式，基本方法掌握的情況，同時(shí)，試題涉及的非常全面,考核的非常細(xì)，這就更要求我們復(fù)習(xí)得更加全面,，還是我們開(kāi)始說(shuō)的要狠抓基本，全面復(fù)習(xí)，把復(fù)習(xí)作細(xì) ，！謝謝大家.45線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點(diǎn)逐個(gè)擊破第一章 行列式（一）行列式的定義行列式是指一個(gè)由若干個(gè)數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個(gè)式子，它實(shí)質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果為一個(gè)確定的數(shù).1．二階行列式由4個(gè)數(shù)得到下列式子：稱為一個(gè)二階行列式，其運(yùn)算規(guī)則為2．三階行列式由9個(gè)數(shù)得到下列式子：稱為一個(gè)三階行列式，它如何進(jìn)行運(yùn)算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對(duì)角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念.3．余子式及代數(shù)余子式設(shè)有三階行列式 對(duì)任何一個(gè)元素，我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成一個(gè)二階行列式，稱它為元素的余子式，記成例如 ，再記 ，稱為元素的代數(shù)余子式.例如 ，那么 ，三階行列式定義為我們把它稱為按第一列的展開(kāi)式，經(jīng)常簡(jiǎn)寫(xiě)成　　4．n階行列式一階行列式 n階行列式 其中為元素的代數(shù)余子式.　5．特殊行列式上三角行列式下三角行列式對(duì)角行列式 （二）行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即性質(zhì)2 用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說(shuō)，行列式可以按行和列提出公因數(shù).性質(zhì)3 互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號(hào).推論1 如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零.推論2 如果行列式中某兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零.性質(zhì)4 行列式可以按行（列）拆開(kāi).性質(zhì)5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)以后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D.定理1（行列式展開(kāi)定理）n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和，即或前一式稱為D按第i行的展開(kāi)式，后一式稱為D按第j列的展開(kāi)式.本定理說(shuō)明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開(kāi)來(lái)求出它的值.定理2 n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）或（三）行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算主要采用以下兩種基本方法：（1）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時(shí)要注意的是，在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k時(shí)，必須在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開(kāi)，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個(gè)“0”元素，再按這一行或這一列展開(kāi)：　例1　計(jì)算行列式 　　解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是，利用這個(gè)元素可以把這一列其它兩個(gè)非零元素化為0，然后按第二列展開(kāi).　　例2 計(jì)算行列式 　　解：方法1　這個(gè)行列式的元素含有文字，在計(jì)算它的值時(shí)，切忌用文字作字母，這個(gè)行列式的特點(diǎn)是它的每一行元素之和均為（我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再將后三行都減去第一行：　　方法2 觀察到這個(gè)行列式每一行元素中有多個(gè)b，我們采用“加邊法”來(lái)計(jì)算，即是構(gòu)造一個(gè)與 有相同值的五階行列式：這樣得到一個(gè)“箭形”行列式，如果，則原行列式的值為零，故不妨假設(shè)，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化為零.例3 三階范德蒙德行列式 （四）克拉默法則　　定理1（克拉默法則）設(shè)含有n個(gè)方程的n元線性方程組為如果其系數(shù)行列式，則方程組必有唯一解：其中是把D中第j列換成常數(shù)項(xiàng)后得到的行列式.把這個(gè)法則應(yīng)用于齊次線性方程組，則有定理2 設(shè)有含n個(gè)方程的n元齊次線性方程組如果其系數(shù)行列式，則該方程組只有零解：換句話說(shuō)，若齊次線性方程組有非零解，則必有，在教材第二章中，將要證明，n個(gè)方程的n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零.　第二章 矩陣（一）矩陣的定義　　　1．矩陣的概念由個(gè)數(shù)排成的一個(gè)m行n列的數(shù)表稱為一個(gè)m行n列矩陣或矩陣當(dāng)時(shí)，稱為n階矩陣或n階方陣元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用或O表示　2．3個(gè)常用的特殊方陣：①n階對(duì)角矩陣是指形如 的矩陣②n階單位方陣是指形如 的矩陣 ③n階三角矩陣是指形如 的矩陣　　3．矩陣與行列式的差異矩陣僅是一個(gè)數(shù)表，而n階行列式的最后結(jié)果為一個(gè)數(shù)，因而矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，只有一階方陣是一個(gè)數(shù)，而且行列式記號(hào)“”與矩陣記號(hào)“”也不同，不能用錯(cuò).（二）矩陣的運(yùn)算　　1．矩陣的同型與相等設(shè)有矩陣，若，,且對(duì)應(yīng)元素相等，即，則稱矩陣A與B相等，記為因而只有當(dāng)兩個(gè)矩陣從型號(hào)到元素全一樣的矩陣，才能說(shuō)相等.　　2．矩陣的加、減法設(shè)，是兩個(gè)同型矩陣則規(guī)定 注意：只有A與B為同型矩陣，它們才可以相加或相減.由于矩陣的相加體現(xiàn)為元素的相加，因而與普通數(shù)的加法運(yùn)算有相同的運(yùn)算律.　　3．?dāng)?shù)乘運(yùn)算設(shè)，k為任一個(gè)數(shù)，則規(guī)定 故數(shù)k與矩陣A的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意數(shù)k與行列式D的乘積，只是用k乘行列式中某一行或某一列，這兩種數(shù)乘截然不同.矩陣的數(shù)乘運(yùn)算具有普通數(shù)的乘法所具有的運(yùn)算律. 　　4．乘法運(yùn)算設(shè)，則規(guī)定其中 由此定義可知，只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)與右矩陣B的行數(shù)相等時(shí)，AB才有意義，而且矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，AB的列數(shù)為B的列數(shù)，而矩陣AB中的元素是由左矩陣A中某一行元素與右矩陣B中某一列元素對(duì)應(yīng)相乘再相加而得到.故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地：①不滿足交換律，即②在時(shí)，不能推出或，因而也不滿足消去律.特別，若矩陣A與B滿足，則稱A與B可交換，此時(shí)A與B必為同階方陣.矩陣乘法滿足結(jié)合律，分配律及與數(shù)乘的結(jié)合律.　　5．方陣的乘冪與多項(xiàng)式方陣設(shè)A為n階方陣，則規(guī)定特別又若，則規(guī)定稱為A的方陣多項(xiàng)式，它也是一個(gè)n階方陣　　6．矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)A為一個(gè)矩陣，把A中行與列互換，得到一個(gè)矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為，轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律：，由轉(zhuǎn)置運(yùn)算給出對(duì)稱矩陣，反對(duì)稱矩陣的定義設(shè)A為一個(gè)n階方陣，若A滿足，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A滿足，則稱A為反對(duì)稱矩陣.7．方陣的行列式矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，但對(duì)于n階方陣，有方陣的行列式的概念.設(shè)為一個(gè)n階方陣，則由A中元素構(gòu)成一個(gè)n階行列式，稱為方陣A的行列式，記為方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則①；②③（三）方陣的逆矩陣　　1．可逆矩陣的概念與性質(zhì)設(shè)A為一個(gè)n階方陣，若存在另一個(gè)n階方陣B，使?jié)M足，則把B