自考線性代數學習指導(參考版)
2024-09-03 14:33本頁面
【正文】 否則，稱向量組線性無關。 (比喻：線性相關好比存在親屬關系，可以互相融合，最終出現0行)第四章 線性方程組一、關于方程組的解(每年必考內容)(是維列向量，是維常數列，顯然變量個數為)(1)時有解①時，方程組有唯一解②時，方程組有無窮多解(2) 時無解(是維列向量，0是維常數列，顯然變量個數為)因為這時滿足，所以方程組必然有解(1)時有解①時，方程組有唯一解(唯一解即零解，所有變量都為零,)②時，方程組有無窮多解(必有非零解)特殊情況： (此時是方陣)(是維列向量，0是維常數列，顯然變量個數為)因為這時滿足，所以方程組必然有解(1)時有解①時，方程組有唯一解(唯一解即零解，所有變量都為零,)②時，方程組有無窮多解(必有非零解)簡化結論：是階方陣時，第五章 特征值與特征向量一、關于特征值和特征向量，則的特征值是。仍稱為組合系數，或表出系數 (2)顯然，零向量可以用任意一組同維數的向量線性表出: ,，稱它為零向量的平凡表出式：(這說明，表出系數可以全為0，表出系數全為0時被表出的向量必是零向量)四、向量組若干個同維數的向量所組成的集合叫做向量組．個向量組成的向量組可記為或(比喻：向量組就好比是個俱樂部，比如有三套房子的人的俱樂部，每個人都是3維的，3個坐標分別是第1套房，第2套房，第3套房)五、線性相關與線性無關定義：設是個維向量，如果存在個不全為零的數，使得，則稱向量組線性相關，稱為相關系數。 (數乘分配律) (8) ． (數乘與向量結合律)主線：線性組合線性表示線性相關(無關)三、向量的線性組合定義：設是一組維向量，是一組常數，則稱 為的一個線性組合，常數稱為該線性組合的組合系數。 (6) 。 (4) 。 (加法交換律) (2) 。推論2 若方程組中方程的個數小于未知量的個數，則方程組必有非零解三十、關于方程組的求解 方陣可逆，即存在1. 方程組 方法：先求出，計算出即可2. 方程組 方法：先求出，計算出即可 第三章 向量空間 一、向量的概念定義：由個數組成的有序數組稱為一個維向量，數稱為該向量的第個分量。值不為零的子式稱為非零子式二十八、矩陣的秩定義：在矩陣中,非零子式的最高階數稱為的秩，記為( 注意：實際在求的秩時，只需要求出的行階梯形矩陣的非零行的行數就行了，簡單易行。(2)非零子式：對于確定的來說，在矩陣中，階子式的總個數為。采用不同的分塊方法得到的是不同的分塊矩陣。若這樣的方陣不存在，則稱為不可逆矩陣(或奇異矩陣) 2. 逆矩陣的性質運算法則1. 2. (交換位置) (對比：)推廣：設是個同階的可逆矩陣，則也可逆，且 3. 4. (逆運算與轉置運算可以互換順序)5. 可逆矩陣可以從矩陣等式的同側消去，即當為可逆矩陣時，有 6. 設是一個階可逆方陣，我們記，并定義，其中是任意正整數，則有。 ：列標，(3)第行與第列的交叉位置記為(4)一般用大寫字母表示矩陣，如,或，或注意：一般情況下，若則稱矩陣為階方陣二、特殊矩陣1．行矩陣：只有一行元素的矩陣 (也可以稱為維行向量, )2．列矩陣：只有一列元素的矩陣 (也可以稱為維列向量,)注意：向量是特殊的矩陣，而且是非常重要的特殊矩陣，后面會詳細介紹3．0矩陣：所有元素都為0的矩陣，用或者表示， 如 三、特殊方陣1．階對角陣：, 或者簡寫為2．階數量陣： 或者 3．階單位陣：，或者4．階對稱矩陣(實對稱矩陣) ：設為階實方陣，若，稱為對稱陣()5．階反對稱陣(實反對稱矩陣)：設為階實方陣，若，稱為反對稱陣 () 注意：若為反對稱矩陣，則必有(主對角線上的元素都為0)四、同型矩陣行數和列數都相等的兩個矩陣，稱為同型矩陣。)三、行列式的性質性質1：行列式與其轉置行列式行列(互換后的行列式)相等()性質2：任意交換行列式的兩行(列)，行列式的值變號 推論：行列式中若有兩行(列)元素對應相同，則行列式的值為0性質3：若行列式中某一行(列)有共同因子，可以將該因子提取到行列式符號前面 (對比：若是階方陣，則)性質4：行列式中若有兩行(列)元素對應成比例，則行列式的值為0性質5：(拆分性質)行列式可以按行(列)拆開 性質6：(放大平移不變性質)
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