【正文】 ,2,1( njmi ?? ?? 由此定義可知，只有當(dāng)左 矩陣 A 的列數(shù)與右矩陣 B 的行數(shù)相等時(shí)， AB 才有意義，而且矩陣 AB的行數(shù)為 A 的行數(shù)， AB 的列數(shù)為 B 的列數(shù)，而矩陣 AB 中的元素是由左矩陣 A 中某一行元素與右矩陣 B中某一列元素對(duì)應(yīng)相乘再相加而得到 . 故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地： ①不滿(mǎn)足交換律，即 BAAB ? ②在0?AB時(shí)，不能推出0?A或0?B，因而也不滿(mǎn)足消去律 . 特別，若矩陣 A 與 B 滿(mǎn)足 BAAB ? ，則稱(chēng) A 與 B 可交換，此時(shí) A 與 B 必為同階方陣 . 矩陣乘法滿(mǎn)足結(jié)合律，分配律及與數(shù)乘的結(jié)合律 . 5 ．方陣的乘冪與多項(xiàng)式方陣 設(shè) A 為 n 階方陣，則規(guī)定mA A A A?m 個(gè) 特別 EA ?0 又若11 1 0()mmmmf x a x a x a x a??? ? ? ? ?，則規(guī)定 11 1 0()mmmmf A a A a A a A a E??? ? ? ? ? 稱(chēng))( Af為 A 的方陣多項(xiàng)式，它也是一個(gè) n 階方陣 6 ．矩陣的轉(zhuǎn)置 設(shè) A 為一個(gè)nm ?矩陣，把 A 中行與列互換，得到一個(gè)mn ?矩陣，稱(chēng)為 A 的轉(zhuǎn)置矩陣，記為 TA ，轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿(mǎn)足以下運(yùn)算律： AA T ?? )(，TTT BABA ??? )(，TT kAkA ?)(，TTT ABAB ?)( 由轉(zhuǎn)置運(yùn)算給出對(duì)稱(chēng)矩陣，反對(duì)稱(chēng)矩陣的定義 設(shè) A 為一個(gè) n 階方陣，若 A 滿(mǎn)足 AA T ? ，則稱(chēng) A 為對(duì)稱(chēng)矩陣，若 A 滿(mǎn)足 AA T ?? ，則稱(chēng) A為反對(duì)稱(chēng)矩陣 . 7 ．方陣的行列式 矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，但對(duì)于 n 階方陣，有方陣的行列式的概念 . 設(shè))( ijaA ?為一個(gè) n 階方陣，則由 A 中元素構(gòu)成一個(gè) n 階行列式nija，稱(chēng)為方陣 A 的行列式，記為A 方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè) A ， B 為 n 階方陣， k 為數(shù)，則 ①AA T ?； ②AkkA n? ③BAAB ?? （三）方陣的逆矩陣 1 ．可逆矩陣的概念與性質(zhì) 設(shè) A 為一個(gè) n 階方陣，若存在另一個(gè) n 階方陣 B ，使?jié)M足 EBAAB ?? ，則把 B 稱(chēng)為 A 的逆矩陣，且說(shuō) A 為一個(gè)可逆矩陣，意指 A 是一個(gè)可以存在逆矩陣的矩陣，把 A 的逆矩陣 B 記為 1?A ，從而 A與 1?A 首先必可交換，且乘積為單位方陣 E. 逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè) A ， B 為同階可逆矩陣，0?k為常數(shù)，則 ① 1?A 是可逆矩陣，且AA ??? 11 )(； ② AB 是可逆矩陣，且111)( ??? ? ABAB； ③ kA 是可逆矩陣，且11 1)(??? AkkA ④ TA 是可逆矩陣，且TT AA )()( 11 ?? ? ⑤可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去，即 設(shè) P 為可逆矩陣，則BAPBPA ??? BABPAP ??? 2 ．伴隨矩陣 設(shè))( ijaA ?為一個(gè) n 階方陣，ijA為 A 的行列式nijaA ?中元素ija的代數(shù)余子式，則矩陣??????????????nnnnnnAAAAAAAAA??????212221212111稱(chēng)為 A 的伴隨矩陣，記為 *A （務(wù)必注意 *A 中元素排列的特點(diǎn)） 伴隨矩陣必滿(mǎn)足 EAAAAA ?? ** 1* ??nAA （ n 為 A 的階數(shù)） 3 ． n 階陣可逆的條件與逆矩陣的求法 定理： n 階方陣 A 可逆?0?A，且*11AAA ?? 推論： 設(shè) A ， B 均為 n 階方陣，且滿(mǎn)足EAB ?，則 A ， B 都可逆，且 BA ?? 1 ， AB ?? 1 例 1 設(shè)?????????dcbaA （ 1 ）求 A 的伴隨矩陣 *A （ 2 ） a ， b ， c ， d 滿(mǎn)足什么條件時(shí)， A 可逆？此時(shí)求 1?A 解： （ 1 ）對(duì)二階方陣 A ，求 *A 的口訣為“主交換，次變號(hào)”即???????????acbdA* （ 2 ）由bcaddcbaA ???，故當(dāng)0?? bcad時(shí)，即0?A， A 為可逆矩陣 此時(shí)??????????????acbdbcadAAA11*1 （四）分塊矩陣 1 ． 分塊矩陣的概念與運(yùn)算 對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運(yùn)算簡(jiǎn)潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線(xiàn)和縱線(xiàn)把矩陣分割成若干小塊，每個(gè)小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣 . 在作分塊矩陣的運(yùn)算時(shí)，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類(lèi)似的，特別在乘法時(shí)，要注意到應(yīng)使左矩陣 A 的列分塊方式與右矩陣 B 的行分塊方式一致，然后把子塊當(dāng)作元素來(lái)看待，相乘時(shí) A 的各子塊分別左乘 B 的對(duì)應(yīng)的子塊 . 2 ．準(zhǔn)對(duì)角矩陣的逆矩陣 形如 ??????????????rAAA?21的分塊矩陣稱(chēng)為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中rAAA , 21 ?均為方陣空白處都是零塊 . 若rAAA , 21 ?都是可逆矩陣，則這個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣也可逆，并且 ?????????????????????????????????11211121rr AAAAAA?? （五）矩陣的初等變換與初等方陣 1 ． 初等變換 對(duì)一個(gè)矩陣 A 施行以下三種類(lèi)型的變換，稱(chēng)為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱(chēng)為初等變換， （ 1 ）交換 A 的某兩行（列）； （ 2 ）用一個(gè)非零數(shù) k 乘 A 的某一行（列）； （ 3 ）把 A 中某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上 . 注意：矩陣的初等變換與行列式計(jì)算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計(jì)算是求值過(guò)程，用等號(hào)連接，而對(duì)矩陣施行初等變換是變換過(guò)程用“?”連接前后矩陣 . 初等變換是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)常用的運(yùn)算，而且最常見(jiàn)的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡(jiǎn)化的階梯形矩陣 . 2 ．初等方陣 由單位方陣 E 經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等方陣 . 由于初等變換有三種類(lèi)型，相應(yīng)的有三種類(lèi)型的初等方陣，依次記為ijP，)( kD i和)( kT ij，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類(lèi)的初等方陣 . 3 ．初等變換與初等方陣的關(guān)系 設(shè) A 為任一個(gè)矩陣，當(dāng)在 A 的左邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì) A 作同類(lèi)型的初等行變換；在 A 的右邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì) A 作同類(lèi)型 的初等列變換 . 4 ．矩陣的等價(jià)與等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 若矩陣 A 經(jīng)過(guò)若干次初等變換變?yōu)?B ，則稱(chēng) A 與 B 等價(jià)，記為 BA ? 對(duì)任一個(gè)nm ?矩陣 A ，必與分塊矩陣????????OOOEr等價(jià)，稱(chēng)這個(gè)分塊矩陣為 A 的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 . 即對(duì)任一個(gè)nm ?矩陣 A ，必存在 n 階 可 逆 矩 陣 P 及 n 階 可 逆 矩 陣 Q ， 使 得 ?????????OOOEP A Qr 5 ．用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣 設(shè) A 為任一個(gè) n 階可逆矩陣，構(gòu)造nn 2?矩陣（ A ， E ） 然后 ),(),( 1?? AEEA 注意：這里的初等變換必須是初等行變換 . 例 2 求???????????????421412311A的逆矩陣 解 ： ? ?? ?? ?1 2 21 1 32 1 1 3 1 12 1 33 2 21 1 3 1 0 0 1 1 3 1 0 0( , ) 2 1 4 0 1 0 0 1 2 2 1 01 2 4 0 0 1 0 1 1 1 0 11 0 1 1 1 0 1 0 0 4 2 10 1 2 2 1 0 0 1 0 4 1 20 0 1 3 1 1 0 0 1 3 1 1AE? ? ????? ? ? ?? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?行 行行 行行 行 行 行行 行行 行 則 ????????????????1132141241A 例 3 求解矩陣方程 ?????????????????????????213411421412311X 解： 令??????????????????????????213411,421412311BA，則矩陣方程為 BAX ? ，這里 A 即為例 2 中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘 1?A ，得 ??????????????????????????????????????2052032134111132141241BAX 也能用初等行變換法，不用求出 1A ? ，而直接求 BA 1? ),(20xx0520xx03001214213441211311),(1BAEBA???????????????????????????? 則 ?????????????2052031BAX （六）矩陣的秩 1 ． 秩的定義 設(shè) A 為nm ?矩陣，把 A 中非零子式的最高階數(shù)稱(chēng)為 A 的秩，記為秩)( A或)( Ar 零矩陣的秩為 0 ，因而? ?nmA ,m i n)(0 ?? 秩，對(duì) n 階方陣 A ，若秩nA ?)(，稱(chēng) A 為滿(mǎn)秩矩陣，否則稱(chēng)為降秩矩陣 . 2 ． 秩的求法 由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，又矩陣初等變換不改變矩陣的秩 . 對(duì)任一個(gè)矩陣A ，只要用初等行變換把 A 化成階梯形矩陣 T ，則秩 ( A ) = 秩 ( T ) = T 中非零行的行數(shù) . 3 ．與滿(mǎn)秩矩陣等價(jià)的條件 n 階方陣 A 滿(mǎn)秩?A 可逆，即存在 B ，使 EBAAB ?? ?A 非奇異，即0?A