【正文】 稱為A的逆矩陣，且說(shuō)A為一個(gè)可逆矩陣，意指A是一個(gè)可以存在逆矩陣的矩陣，把A的逆矩陣B記為，從而A與首先必可交換，且乘積為單位方陣E.逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè)A，B為同階可逆矩陣，為常數(shù)，則①是可逆矩陣，且；②AB是可逆矩陣，且；③kA是可逆矩陣，且④是可逆矩陣，且⑤可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去，即　　 設(shè)P為可逆矩陣，則 　　2．伴隨矩陣設(shè)為一個(gè)n階方陣，為A的行列式中元素的代數(shù)余子式，則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為（務(wù)必注意中元素排列的特點(diǎn)）伴隨矩陣必滿足 （n為A的階數(shù)）　　3．n階陣可逆的條件與逆矩陣的求法定理：n階方陣A可逆，且推論：設(shè)A，B均為n階方陣，且滿足，則A，B都可逆，且，　　 例1 設(shè)（1）求A的伴隨矩陣（2）a，b，c，d滿足什么條件時(shí)，A可逆？此時(shí)求　　 解：（1）對(duì)二階方陣A，求的口訣為“主交換，次變號(hào)”即（2）由，故當(dāng)時(shí)，即，A為可逆矩陣此時(shí)（四）分塊矩陣1． 分塊矩陣的概念與運(yùn)算對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運(yùn)算簡(jiǎn)潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個(gè)小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣.在作分塊矩陣的運(yùn)算時(shí)，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類似的，特別在乘法時(shí)，要注意到應(yīng)使左矩陣A的列分塊方式與右矩陣B的行分塊方式一致，然后把子塊當(dāng)作元素來(lái)看待，相乘時(shí)A的各子塊分別左乘B的對(duì)應(yīng)的子塊.2．準(zhǔn)對(duì)角矩陣的逆矩陣形如 的分塊矩陣稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中均為方陣空白處都是零塊.若都是可逆矩陣，則這個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣也可逆，并且（五）矩陣的初等變換與初等方陣1． 初等變換對(duì)一個(gè)矩陣A施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為初等變換，（1）交換A的某兩行（列）；（2）用一個(gè)非零數(shù)k乘A的某一行（列）；（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩陣的初等變換與行列式計(jì)算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計(jì)算是求值過(guò)程，用等號(hào)連接，而對(duì)矩陣施行初等變換是變換過(guò)程用“”連接前后矩陣.初等變換是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)常用的運(yùn)算，而且最常見(jiàn)的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡(jiǎn)化的階梯形矩陣.2．初等方陣由單位方陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣.由于初等變換有三種類型，相應(yīng)的有三種類型的初等方陣，依次記為，和，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類的初等方陣.3．初等變換與初等方陣的關(guān)系設(shè)A為任一個(gè)矩陣，當(dāng)在A的左邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì)A作同類型的初等行變換；在A的右邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì)A作同類型的初等列變換.4．矩陣的等價(jià)與等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形若矩陣A經(jīng)過(guò)若干次初等變換變?yōu)锽，則稱A與B等價(jià)，記為對(duì)任一個(gè)矩陣A，必與分塊矩陣等價(jià)，必存在n階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得 5．用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣設(shè)A為任一個(gè)n階可逆矩陣，構(gòu)造矩陣（A，E）然后 注意：這里的初等變換必須是初等行變換.　　 例2 求的逆矩陣　　 解： 則 例3 求解矩陣方程　　解：令，則矩陣方程為，這里A即為例2中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘，得也能用初等行變換法，不用求出，而直接求則 （六）矩陣的秩1． 秩的定義設(shè)A為矩陣，把A中非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為秩或零矩陣的秩為0，因而，對(duì)n階方陣A，若秩，稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣.2． 秩的求法由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，只要用初等行變換把A化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=T中非零行的行數(shù).3．與滿秩矩陣等價(jià)的條件n階方陣A滿秩A可逆，即存在B，使 A非奇異，即 A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為E A可以表示為有限個(gè)初等方陣的乘積 齊次線性方程組只有零解 對(duì)任意非零列向量b，非齊次線性方程組有唯一解 A的行（列）向量組線性無(wú)關(guān) A的行（列）向量組為的一個(gè)基 任意n維行（列）向量均可以表示為A的行（列）向量組　　　　　　　　　　　　　　　的線性組合，且表示法唯一. A的特征值均不為零 為正定矩陣.（七）線性方程組的消元法.對(duì)任一個(gè)線性方程組可以表示成矩陣形式，其中為系數(shù)矩陣，為常數(shù)列矩陣，為未知元列矩陣.從而線性方程組與增廣矩陣一一對(duì)應(yīng).對(duì)于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解.第三章 向量空間（一）n維向量的定義與向量組的線性組合1． n維向量的定義與向量的線性運(yùn)算由n個(gè)數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量，若用一行表示，稱為n維行向量，即矩陣，若用一列表示，稱為n維列向量，即矩陣與矩陣線性運(yùn)算類似，有向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律.2．向量的線性組合設(shè)是一組n維向量，是一組常數(shù)，則稱為的一個(gè)線性組合，常數(shù)稱為組合系數(shù).若一個(gè)向量可以表示成 則稱是的線性組合，或稱可用線性表出.3．矩陣的行、列向量組設(shè)A為一個(gè)矩陣，若把A按列分塊，可得一個(gè)m維列向量組稱之為A的列向量組.　若把A按行分塊，可得一個(gè)n維行向量組稱之為A的行向量組.4．線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法.向量能用線性表出的充要條件是線性方程組有解，且每一個(gè)解就是一個(gè)組合系數(shù).　　例1　問(wèn)能否表示成，的線性組合？　　解：設(shè)線性方程組為 對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換：則方程組有唯一解所以可以唯一地表示成的線性組合，且（二）向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)1． 線性相關(guān)性概念設(shè)是m個(gè)n維向量，如果存在m個(gè)不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)，稱向量線性無(wú)關(guān).由定義可知，線性無(wú)關(guān)就是指向量等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.特別 單個(gè)向量線性相關(guān)； 單個(gè)向量線性無(wú)關(guān)2．求相關(guān)系數(shù)的方法設(shè)為m個(gè)n維列向量，則線性相關(guān)m元齊次線性方程組有非零解，且每一個(gè)非零解就是一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣的秩小于m例2 設(shè)向量組，試討論其線性相關(guān)性.　　解：考慮方程組其系數(shù)矩陣 于是，秩，所以向量組線性相關(guān)，與方程組同。解 因?yàn)?階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為,故矩陣必與對(duì)角陣相似,所以必與對(duì)角陣等價(jià),所以秩.答案 B例22設(shè)矩陣，求正交矩陣，使為對(duì)角矩陣.解 (1) 所以的所有特征值為.(2)當(dāng)時(shí),取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),.當(dāng)時(shí),取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),.(3), ,則正交陣,且 (請(qǐng)驗(yàn)算!)第六章 實(shí)二次型 一. 二次型及其矩陣表示 ,稱矩陣的秩為該二次型的秩例1二次型的矩陣為（　　?。〢． B．C． D．測(cè)試點(diǎn) 二次型的矩陣答案 C]例2已知二次型的矩陣為,則以它為矩陣的二次型為 . 測(cè)試點(diǎn) 二次型的矩陣以及實(shí)對(duì)稱矩陣的二次型解 所求二次型為二．矩陣的合同 ，則稱與合同.對(duì)于二次型，做非退化的線性變換變換（其中為可逆陣）則,可見(jiàn)經(jīng)非退化的線性變換后的二次型的矩陣與原二次型的矩陣合同。設(shè)，則下列等式錯(cuò)誤的是（ ）A. B.C. D.解析 因?yàn)橐来问蔷仃噷儆谔卣髦档奶卣飨蛄?，? ,所以答案 C例14設(shè)矩陣，求可逆矩陣及對(duì)角矩陣，使得.解 (1)求的特征值和線性無(wú)關(guān)的特征向量 .所以的特征值為 .(2) 當(dāng)時(shí)取為約束未知數(shù),取為自由未知數(shù),得為齊次方程組 .當(dāng)時(shí)取為約束未知數(shù),取為自由未知數(shù),得當(dāng)時(shí)取為約束未知數(shù),取為自由未知數(shù),得取,則有.驗(yàn)算 只要檢查 所以 ，從而 例15設(shè)3階矩陣的特征值為:.測(cè)試點(diǎn) 關(guān)于階方陣與對(duì)角陣相似的公式:設(shè)為三階方陣的三個(gè)特征值,依次為屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量,則令 有故 解 令為求,需先求. 所以故 例16 已知2階矩陣的特征值為與，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為求：（1）；（2）知識(shí)點(diǎn) 利用矩陣與對(duì)角陣形似將計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算 解 因?yàn)?階矩陣的特征值為與，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為取，則,所以.例17設(shè)矩陣，存在，使得；，使得.測(cè)試點(diǎn) 方陣的特征值和特征向量的定義；方