【正文】 試求a3使a1,a2,a3構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基.3． 正交矩陣定義6：A是一個(gè)n階實(shí)矩陣，若AA=定理：設(shè)A、B都是n階正交矩陣，則(1)T230。 232。,a2 231。 a1=231。 231。例如，例1 已知三維向量空間中兩個(gè)向量230。j)。238。正交單位向量組(標(biāo)準(zhǔn)正交向量組)：非零實(shí)向量a1,a2,L,as兩兩正交，且每個(gè)向量長(zhǎng)度全為1，即236。2．標(biāo)準(zhǔn)正交基的向量組 2012年6月14日星期四 219。 為a和b的 (1) 注：（1）零向量與任何向量都正交。232。231。=aTbM231。=(a1,a2,L,an)231。231。231。稱(a,b)=a1b1+a2b2+L+anbn 定義1：n維實(shí)向量230。232。n232。231。231。231。MM231。,b=231。a=231。231。231。231。231。230。n．230。V,Ta=xa+L+xa(x,L,x)11rr唯一（定理2）, 稱1r 表示式為a在a1,L,ar下的坐標(biāo)（列向量）．a(chǎn),L,ar下的坐標(biāo)為r維列向量． 注： a為n維向量, a在V的基1基 2012年6月14日星期四因?yàn)榫€性無關(guān)的“維向量組”最多含有個(gè)向量, 所以由 n維向量構(gòu)成的向量空間的基中最多含有n個(gè)向量, 故r167。（3）向量空間的基不唯一。注：（1）只含有零向量的向量空間沒有基，規(guī)定其維數(shù)為0。R} 206。R,206。 有kaa206。V,有a+b206。 向量空間1．向量空間的概念定義1： 設(shè) V 為n 維向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合V 為向量空間．說明：集合 V 對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉指 219。0, 即A為可逆矩陣(也稱為滿秩矩陣)r(A)n219。A的n個(gè)行(列)向量組線性無關(guān)219。有r(A)+r(B)n. 238。r(A)+r(B)n。239。239。r(AB)163。r(A)+r(B)。p, 矩陣的秩與行列式的關(guān)系定理236。若P可逆，對(duì)于任意的矩陣(4) 對(duì)于TA初等行變換BA，有r(PA)=r(A)=r(AP) Am180。 求向量組的秩、極大無關(guān)組的步驟： 2012年6月14日星期四14 / 35(1) 向量組a1,a2,L,as作列向量構(gòu)成矩陣A；(2) (行最簡(jiǎn)形矩陣)(3) 求出B的列向量組的極大無關(guān)組(4) A中與B的列向量組的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng)部分的列向量組，即為A的極大無關(guān)組。對(duì)于任何矩陣，總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣。推論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。定義5：矩陣的行秩＝矩陣的列秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。綜上，矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。問題：矩陣的行秩等于矩陣的列秩嗎？引理1: 矩陣的初等行(列)變換不改變矩陣的行(列)秩。定義4：矩陣的行向量的秩，就稱為矩陣的行秩。兩個(gè)向量組有相同的秩，并且其中一個(gè)可以被另一個(gè)線性表示，則這兩個(gè)向量組等價(jià)。(4) 等價(jià)的向量組必有相同的秩。r(a1,a2,L,as)=s， r(a1,a2,L,as)s.，(3) 如果向量組a1,a2,L,as可以由向量組b1,b2,L,bt線性表示，則r(a1,a2,L,as)163。的秩為2. 例如，向量組關(guān)于向量組的秩的結(jié)論:(1) 零向量組的秩為0；(2) 向量組a1,a2,L,as線性無關(guān)219。232。232。232。231。231。231。231。231。354231。,a3=231。,a2=231。a1=231。231。231。231。231。231。231。230。230。230。定理 一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)，且所包含向量的個(gè)數(shù)相同。 極大無關(guān)組的基本性質(zhì)：性質(zhì)1 任何一個(gè)極大無關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。還可以驗(yàn)證a2,a3也是一個(gè)極大無關(guān)組。248。248。248。1247。4247。1247。247。247。247。247。247。247。1247。2247。1247。247。247。247。2246。4246。2246。 注：(1) 只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組；(2) 一個(gè)線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身；(3) 一個(gè)向量組的任一向量都能由它的極大無關(guān)組表示。推論2 兩個(gè)線性無關(guān)的等價(jià)的向量組，必包含相同個(gè)數(shù)的向量。推論1向量組a1,a2,L,as可以由向量組b1,b2,L,bs線性表示，并且a1,a2,L,as線性無關(guān)，那么s163。T2與T1等價(jià)(3) 傳遞性：T1與T2等價(jià), T2與T3等價(jià)222。它們所構(gòu)成方陣的行列式不為零；(7) n維向量空間任一線性無關(guān)組最多只能包含n 向量.167。gt。Ax=0只有零解，其中A=(a1,a2,L,am)。 任何一個(gè)向量都不可由其余b1,b2,b3個(gè)向量線性表示． 定理3 n維向量組a1,a2,L,am線性相關(guān)219。 其中至少有一個(gè)向量可由其余b1,b2,b3個(gè)向量線性表示． 2012年6月14日星期四12 / 35推論：向量組a1,a2,L,amb4=0b1+2b2+1b3線性無關(guān)219。判別b是否可由向量組e1,e2,e3,L,em線性表示的定理： 定理1 向量b可由向量組e1,e2,e3,L,em線性表示的充分必要條件是： 以e1,e2,e3,L,em為系數(shù)列向量，以b為常數(shù)項(xiàng)列向量的線性方程組有解，且一個(gè)解就是線性表示的系數(shù)。1248。248。248。248。248。247。247。247。247。247。0247。1247。0247。0247。3247。247。247。247。247。247。0247。0247。1247。0247。5247。0246。0246。0246。1246。2246。1248。247。0247。247。0247。0246。0248。248。248。248。247。247。247。247。1247。0247。0247。3247。247。247。247。247。0247。1247。0247。5247。0246。0246。1246。2246。 n維向量的線性運(yùn)算1．定義線性運(yùn)算：a=(a1,a2,L,an), b=(b1,b2,L,bn) 2012年6月14日星期四11 / 35相等：若ai加法：a=bi(i=1,2,L,n), 稱a=bΔ． +b=(a1+b1,a2+b2,L,an+bn)Δ數(shù)乘：ka=(ka1,ka2,L,kan)減法：ab=2．線性運(yùn)算律： Δa+(b)=(a1b1,a2b2,L,anbn)a=(a1,a2,L,an), b=(b1,b2,L,bn), g=(c1,c2,L,)(1) a+b=b+a (5) 1a=a(2) (a+b)+g=a+(b+g) (6) k(la)=(kl)a(3) a+q=a (7) k(a+b)=ka+kb(4) a+(a)=q (8) (k+l)a=ka+la 167。0nMM20a0249。a1249。anM2aa1249。R–– 稱a為實(shí)向量（下面主要討論實(shí)向量） ai206。第三章 n維向量空間167。3 注意矩陣秩的有關(guān)不等式。對(duì)于其他類型的矩陣方程類似地可以給出求解方法。174。190。 (A|B)190。這類問題多注意伴隨矩陣的定義以及與逆矩陣的關(guān)系。 在處理有關(guān)矩陣逆的問題的時(shí)候，注意逆矩陣的性質(zhì)以及前面所講的矩陣可逆的充要條件。 二 常見題型題型一：有關(guān)矩陣運(yùn)算律的考察和相關(guān)概念的考查在考慮矩陣的乘積可交換時(shí)，常常利用題型二： 矩陣可逆的計(jì)算與證明（1）對(duì)于具體的三階、四階的數(shù)字矩陣求此逆，初等變換的方法一定要會(huì)，用伴隨矩陣的方法要基本清楚；（2）如果給定了抽象的條件，要求AA1=A1A=E來進(jìn)行。r(A)+r(B)163。=r(A)+r(B) 247。s矩陣，且AB=0，則： A246。若A為m180。248。231。=r(A)+r(B),r231。231。230。r(A)+r(B)若P、Q分別是可逆矩陣，且下列運(yùn)算有意義，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)230。min(r(A),r(B)),max{r(A),r(B)}163。B)163。r(A)163。T（T是階梯型矩陣），則r（A）=r(T)=T的非0行的行數(shù)4）有關(guān)矩陣秩的重要結(jié)論r(A)=rAT=rAAT（若A是實(shí)矩陣）()()若A185。190。190。B，則r(A)=r(B) 2012年6月14日星期四9 / 353）矩陣秩的求法 應(yīng)用上面的結(jié)論，求矩陣A的秩其一般方法是A190。2）矩陣的秩與初等變換的關(guān)系：對(duì)矩陣A實(shí)行初等變換其秩不變A174。（6）關(guān)于矩陣的秩1）矩陣秩的定義：在矩陣A中，有一個(gè)不等于0的r階子式Dr，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于0，那么r稱為矩陣A的秩，Dr稱為矩陣A的最高階非0子式。當(dāng)A185。0若r(A)163。r(A*)=237。0時(shí)，A1=A*的秩為： 1*A,A=0時(shí)：AA*=A*A=0 A對(duì)于一般地方陣A，其伴隨矩陣236。174。190。190。這是兩種最基本的方法，應(yīng)該熟練，特別是對(duì)于三階矩陣；初等變換求逆矩陣的方法：(A|E)190。248。247。232。0247。231。0247。1B1246。A0248。=247。0231。BA246。B248。1247。0247。（4）逆矩陣的求法 0246。248。231。247。231。A0246。 11n230。3）用矩陣的秩來描述：r(A)=n這里n是矩陣A的階數(shù)；4）用向量的觀點(diǎn)來描述：矩陣A的行向量組（或列向量組）線性無關(guān)；5）用方程組的觀點(diǎn)來描述：方程組AX=0僅有0解；6）用矩陣A的特征值來描述：A的特征值全不0；（3）逆矩陣的性質(zhì)1）若A有逆矩陣，則逆矩陣是唯一的；2012年6月14日星期四8 / 352）若A,B是同階可逆矩陣，則AB也可逆，且3）(AB)1=B1A1。6 關(guān)于n階矩陣的逆矩陣（1）逆矩陣的定義：設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，若有n階方陣B使得AB=E或BA=E 則稱矩陣A是可逆的；( 2 )n階方陣A可逆的充要條件1）用矩陣的方式描述：存在矩陣B使得 AB=E或BA=E(即定義）；2）用A的行列式A185。247。232。i,Qj使得：PtPt1LP1AQ1Q2LQs=231。初等矩陣P230。247。232。E0231。(4)矩陣A與B等價(jià)如果A能夠通過初等變換變?yōu)锽則稱A與B等價(jià)，用式子表示就是：B=PtPt1LP1AQ1Q2LQs,其中Pi,Qj是初等矩陣每一個(gè)矩陣A都與矩陣231。001247。231。131247。231。111247。231。010247。231。231247。120246。122246。247。211247。102246。230。111247。231。131247。247。231。231。2)+190。1180