線性代數(shù)性質(zhì)公式整理-文庫吧資料
2025-06-30 02:30本頁面
【正文】 只有零解或反證法。=ks=0時，才有k1a1+k2a2+,ks不全為零，必有k1a1+k2a2+,as線性相關(guān)，否則稱它線性無關(guān)。,ks，使得k1a1+k2a2+、無關(guān)——對于n維向量a1,a2, 向量組的任意兩個極大無關(guān)組是等價向量組。 等價向量組具有傳逆性、對稱性、反身性。,βt線性表出，則稱向量組(Ⅰ)可由向量組(Ⅱ)線性表出。,as ；(Ⅱ) β1,β2,as線性表出。+ksas=β則稱向量β是向量a1,a2,as和β，如果存在實數(shù)k1,k2,km稱為組合系數(shù)。+kmam稱為向量組a1,a2,am及m個數(shù)k1,k2, α,β=β,α kα,β=kα,β=α,kβ α+β,γ=α,γ+β,γ，α,α≥0，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)α=0。+an2=αTα，稱a12+a22+α=α， klα=(kl)α， k+lα=kα+lα， kα+β=kα+kβ(內(nèi)積) α,β=a1b1+a2b2+,an+bn)T α+β=β+α， α+β+γ=α+β+γ， α+0=0+α=α(數(shù)乘) kα=ka1,ka2,an)T 與β=(b1,b2,bn)T 相等，即α=β?a1=b1,a2=b2,——所有分量都是0的向量稱為零向量，記為0——n維向量α=(a1,a2,an或a1,a2,線性表出P214第三章、向量一、n維向量的概念與運算——n個有序數(shù)組a1,a2,0] Aβi=0 (i=1,2,βs=Aβ1,Aβ2,由于不同的需要，同一個矩陣有不同的方法分塊，可以行分塊，以列分塊等?！? r(A)=r?矩陣A中非零子式的最高階數(shù)是r r(A)r? A中每一個r階子式全為0 r(A)≥r? A中有r階子式不為0特別地，rA=0?A=O ； A≠O?r(A)≥1若A是n階矩陣，r(A)=n?|A|≠0?A可逆 rAn?A=0?A不可逆若A是mn矩陣，則r(A≤minm,n)—— rA=r(AT)； rATA=r(A)當(dāng)k≠0時，rkA=r(A)； rA+B≤rA+rB rAB≤minrA,rB； 若A可逆，則r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)若A是mn矩陣，B是ns矩陣，AB=O，則rA+rB≤n分塊矩陣rAOOB=rA+rB。PN，使得PN(A的等價標(biāo)準(zhǔn)型是與A等價的所有矩陣中的最簡矩陣?！蒃經(jīng)過一次初等變換所得的矩陣 倍乘初等矩陣E2k=1000k0001 互換初等矩陣E12=010100001 倍加初等矩陣E31k=100010k01 ——矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價，記成A?B。——設(shè)A是mn矩陣，(倍乘)用某個非零常數(shù)kk≠0乘A的某行(列)的每個元素，(互換)互換A的某兩行(列)，(倍加)將A的某行(列)元素的k倍加到另一行(列)。行列式不為0則矩陣可逆。⑨伴隨矩陣：見() A*=A⑤對稱陣：滿足 AT=A，即aij=aji的矩陣稱為對稱陣⑥反對稱陣：滿足 AT=A，即aij=aji，aii=0的對稱陣稱為反對稱陣。Λ=diag[a1，a2，四、特殊矩陣設(shè)A是n階矩陣：①單位陣：主對角元素為1，其余元素為0，記成En或In②數(shù)量陣：數(shù)k與單位矩陣E的積kE稱為數(shù)量矩陣。+aisbsj 將矩陣A的行列互換得到矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT三、矩陣的運算規(guī)則ABC為同型矩陣，則——A+B=B+A；A+B+C=A+B+C ；A+O=A；A+(A)=O——kmA=kmA=mkA； k+mA=kA+mA； kA+B=kA+kB ； 1A=A；0A=O ABC滿足可乘條件 ABC=ABC；AB+C=AB+AC ；(B+C)A=BA+CA 注意一般情況下AB≠BA AB=O不能推出A=O或B=OAB=B且B≠O，不能推出A=E對角矩陣AB=a1000a2000a3=b1000b2000b3=a1b2000a2b2000a3b3對角矩陣的逆矩陣 a1 a2 a31=1a1 1a2 1a3——(A+B)T=AT+BT； (kA)T=kAT； (AB)T=BT； ATT=A—— A*=|A|A1； AA*=A*A=|A|E； A*1=A1*=1AA (|A|≠0)； A*T= AT*； kA*=kn1A*； A*=|A|n1； A**=|A|n2A (n≥2)—— (Ak)l=Akl， AkAl=Ak+l注意 (AB)k=ABAB二、矩陣的運算1.(加法) 設(shè)A、B是同型矩陣，則A+B=[aij]mn+bijmn=[aij+bij]mn2.(數(shù)乘) kA=k[aij]mn=[kaij]mn3.(乘法) 若A為ms矩陣，B為sn矩陣，則A、B可乘，且乘積AB是一個mn矩陣。兩個矩陣A=[aij]mn，B=bijst，如果m=s，n=t，則稱A與B是同型矩陣兩個同型矩陣如果對應(yīng)的元素都相等，則稱矩陣A與B相等，記作A=B。amn稱為是一個mn矩陣，當(dāng)m=n時，矩陣
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