線性代數(shù)性質(zhì)公式整理(存儲版)
【正文】 (kA)T=kAT； (AB)T=BT； ATT=A—— A*=|A|A1； AA*=A*A=|A|E； A*1=A1*=1AA (|A|≠0)； A*T= AT*； kA*=kn1A*； A*=|A|n1； A**=|A|n2A (n≥2)—— (Ak)l=Akl， AkAl=Ak+l注意 (AB)k=ABAB——設(shè)A是mn矩陣，(倍乘)用某個非零常數(shù)kk≠0乘A的某行(列)的每個元素，(互換)互換A的某兩行(列)，(倍加)將A的某行(列)元素的k倍加到另一行(列)。PN，使得PN,0] Aβi=0 (i=1,2,an+bn)T α+β=β+α， α+β+γ=α+β+γ， α+0=0+α=α(數(shù)乘) kα=ka1,ka2,+kmam稱為向量組a1,a2,+ksas=β則稱向量β是向量a1,a2,βt線性表出，則稱向量組(Ⅰ)可由向量組(Ⅱ)線性表出。證明：證明線性無關(guān)通常的思路是：用定義法(同乘或拆項(xiàng)重組)，用秩(秩等于向量個數(shù)則線性無關(guān))，齊次方程組只有零解或反證法。,an線性相關(guān)?行列式a1,a2,as線性表出?非齊次方程組a1,a2,⑧向量組a1,a2,βt，如果向量組(Ⅰ)可由向量組(Ⅱ)線性表出，且st，則a1,a2,as中，有一個部分組ai1,ai2, 向量組的極大線性無關(guān)組一般不唯一,但其極大線性無關(guān)組的向量個數(shù)是一樣的。,as=r。A是正交矩陣?AT=A1 ?A的向量組是正交規(guī)范向量組，如A是正交矩陣，則行列式A=1或1。+a2nxn=b2——若包含n個方程n個未知量的奇次線性方程組a11x1+a12x2++αnxn=0 其中αj=a1j,a2j,ξnr線性表出。=0的解的性質(zhì)—— 若ξ1,ξ2是齊次線性方程組AX=0的解，則kξ1,k1ξ1+k2ξ2仍是AX=0的解，其中k1,，k2是任意常數(shù)。,ann—— 若A是mn矩陣，r(A)=rn，則齊次線性方程組AX=0存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系由nr個線性無關(guān)解向量組成，故基礎(chǔ)解系向量個數(shù)+rA=n (未知量個數(shù))=0的通解——設(shè)ξ1,ξ2,bmT =b的解的性質(zhì)——設(shè)η1,η2是AX=b的兩個解，ξ是對應(yīng)齊次方程AX=0的解，則 Aη1η2=0，Aη1+kξ=b=b有解的條件—— AX=b無解?b不能由A的列向量組α1,α2,αn,b線性相關(guān) ? b可以由A的列向量組α1,α2,αn線性表出且表示不唯一?！薊Aα=0，因α≠0，故λEA=0，此為特征多項(xiàng)式，矩陣λEA稱為特征矩陣?！賜階矩陣A可對角化?A有n個線性無關(guān)的特征向量。贈語； 如果我們做與不做都會有人笑，如果做不好與做得好還會有人笑，那么我們索性就做得更好，來給人笑吧！ 現(xiàn)在你不玩命的學(xué)，以后命玩你。壓力不是有人比你努力，而是那些比你牛幾倍的人依然比你努力。④λi是n階矩陣A的ri重特征值，則其對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量個數(shù)≤ri個⑤n階矩陣A可相似對角化?A的每一個ri重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量個數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)ri⑥當(dāng)A的ri 重特征值λi 對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量個數(shù)少于特征值的重?cái)?shù)ri 時(shí)，A不能相似于對角陣。若A~Λ，其中Λ是對角陣，則稱A可相似化。6. AX=0的系數(shù)列向量和解向量的關(guān)系——P260——方程組AX=0和BX=0的公共解是滿足方程組ABX=0的解。,αn線性表出 ?r(A)=r(A|b) ?α1,α2,+knrξnr是AX=0的通解，其中ki是任意常數(shù)。,代入方程組的未知量x1,x2,+a2nxn=0+annxn=bn的系數(shù)行列式A≠0，則方程組有唯一解，且xi=AiA，i=1,2,…n。 如果只是求向量組的秩，則可以混合行列變化。 注：只有一個零向量構(gòu)成的向量組沒有極大線性無關(guān)組。,air線性無關(guān)；②再添加任一向量aj(1≤j≤s)，向量組ai1,ai2,as,β線性相關(guān)，則向量β可由a1,a2,xm=β有解 ?秩ra1,a2,⑤如果n維向量組a1,a2,ks不全為零，必有k1a1+k2a2+、無關(guān)——對于n維向量a1,a2,as線性表出。,km稱為組合系數(shù)。 α,β=β,α kα,β=kα,β=α,kβ α+β,γ=α,γ+β,γ，α,α≥0，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)α=0?！蟹至慷际?的向量稱為零向量，記為0——n維向量α=(a1,a2,由于不同的需要，同一個矩陣有不同的方法分塊，可以行分塊，以列分塊等。行列式不為0則矩陣可逆。Λ=diag[a1，a2，a1na21a22|B|五、行列式的計(jì)算將行列式化為上下三角，再按行或列展開；化簡技巧：①將每列(行)都加到同一列(行)，或者將每列(行)ki倍都加到同一列(行)。B 11+ainAin=k=1naikAik |A|按i行展開的展開式A=a1jA1j+a2jA2j+an,j1an,j+1ai+1,j1ai+1,j+1a2njn的逆序數(shù)。——一個排列中，如果一個大的數(shù)排列在小的數(shù)之前，就稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序。jna1
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