【正文】 83。,ξnr線性表出。等價(jià)于： (加入任一解向量ξ，使得ξ1,ξ2,,ξnr線性相關(guān)) (r(A)=r，即線性無(wú)關(guān)解向量的個(gè)數(shù)為nr，滿足r(A)+線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)=n)則稱向量ξ1,ξ2,,ξnr是AX=0的基礎(chǔ)解系。=0的解的性質(zhì)—— 若ξ1,ξ2是齊次線性方程組AX=0的解，則kξ1,k1ξ1+k2ξ2仍是AX=0的解，其中k1,，k2是任意常數(shù)。推廣到多個(gè)解=0有解的條件——齊次線性方程AX=0一定有解，至少有非零解。 AX=0只有零解?方程組的列向量組線性無(wú)關(guān)? ra1,a2,,an=n AX=0有非零解?方程組的列向量組線性相關(guān)? ra1,a2,,ann—— 若A是mn矩陣，r(A)=rn，則齊次線性方程組AX=0存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系由nr個(gè)線性無(wú)關(guān)解向量組成，故基礎(chǔ)解系向量個(gè)數(shù)+rA=n (未知量個(gè)數(shù))=0的通解——設(shè)ξ1,ξ2,,ξnr是AX=0的基礎(chǔ)解系，則k1ξ1+k2ξ2++knrξnr是AX=0的通解，其中ki是任意常數(shù)?！醯刃凶儞Q三、非齊次線性方程組 ——n個(gè)未知量m個(gè)方程組成的方程組 向量形式：α1x1+α2x2++αnxn=b 其中αj=a1j,a2j,,amjT 矩陣形式：Am*nX=b b=b1,b2,,bmT =b的解的性質(zhì)——設(shè)η1,η2是AX=b的兩個(gè)解，ξ是對(duì)應(yīng)齊次方程AX=0的解，則 Aη1η2=0，Aη1+kξ=b=b有解的條件—— AX=b無(wú)解?b不能由A的列向量組α1,α2,,αn線性表出 ?r(A)≠r(A|b) rA+1=r(A|b) AX=b有解? b可以由A的列向量組α1,α2,,αn線性表出 ?r(A)=r(A|b) ?α1,α2,,αn?α1,α2,,αn,b AX=b有唯一解?rα1,α2,,αn=r(α1,α2,,αn,b)=n ?α1,α2,,αn線性無(wú)關(guān)，α1,α2,,αn,b線性相關(guān) ? b可以由A的列向量組α1,α2,,αn線性表出且表示唯一。 AX=b有無(wú)窮解? rα1,α2,,αn=r(α1,α2,,αn,b)=rn ?α1,α2,,αn線性相關(guān)，b可由α1,α2,,αn線性表出且表示不唯一。=b的通解結(jié)構(gòu)——對(duì)應(yīng)的齊次通解+非齊次的一個(gè)特解。=0的系數(shù)行向量和解向量的關(guān)系，由AX=0的基礎(chǔ)解系反求A——齊次線性方程組有解β=b1,b2,,bn，故AX=0的系數(shù)行向量αi和解向量β有如下關(guān)系：αiβT=0，故A的行向量與AX=0的解向量是正交向量；βαiT=0，即將解向量作齊次方程組的行向量時(shí)，A的行向量既是該方程組的解向量。6. AX=0的系數(shù)列向量和解向量的關(guān)系——P260——方程組AX=0和BX=0的公共解是滿足方程組ABX=0的解。P263——若A是mn實(shí)矩陣，AX=0和ATAX=0是同解方程組，有rA=rATA=rAAT第五章 特征值、特征向量、相似矩陣一、特征值、特征向量1. 特征值——A是n階方陣，如果對(duì)于數(shù)λ，存在非零向量α，使得Aα=λα (α≠0)，成立，則稱λ是A的特征值，α是A的對(duì)應(yīng)于λ的特征向量?！薊Aα=0，因α≠0，故λEA=0，此為特征多項(xiàng)式，矩陣λEA稱為特征矩陣?！O(shè)A=aijnn,λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，則 ①i=1nλi=i=1naii； ②i=1nλi=A、特征向量的方法——方法一：設(shè)A=aijnn，則由λEA=0求出A的全部特征值λ，再有齊次線性方程組λiEAX=0求出A的對(duì)應(yīng)于特征值λi的特征向量?；A(chǔ)解系即是A的對(duì)應(yīng)于λi的線性無(wú)關(guān)特征向量，通解即是A的對(duì)應(yīng)于λi的全體特征向量。(除0向量)方法二：利用定義，凡滿足關(guān)系式Aα=λα (α≠0)的數(shù)即是A的特征值，α即是A對(duì)應(yīng)于λ的特征向量。一般用于抽象矩陣，或元素為文字的矩陣。P269二、相似矩陣、矩陣的相似對(duì)角化——設(shè)A、B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P1AP=B，則稱A相似于B，記成A~B。若A~Λ，其中Λ是對(duì)角陣，則稱A可相似化。Λ是A的相似標(biāo)準(zhǔn)型?！賜階矩陣A可對(duì)角化?A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。②λ1≠λ2是A的特征值→A的對(duì)應(yīng)于λ1,λ2的特征向量α1,α2線性無(wú)關(guān)。③n階矩陣A有n個(gè)互不相同的特征值λ1≠λ2≠≠λn， →A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量α1,α2,…,αn ?A可相似于對(duì)角陣。④λi是n階矩陣A的ri重特征值，則其對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)≤ri個(gè)⑤n階矩陣A可相似對(duì)角化?A的每一個(gè)ri重特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)ri⑥當(dāng)A的ri 重特征值λi 對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)少于特征值的重?cái)?shù)ri 時(shí)，A不能相似于對(duì)角陣?！?A~A 反身性 A~B→B~A 對(duì)稱性 若A~B，B~C→A~C 傳遞性，！希望您提出您寶貴的意見(jiàn)，你的意見(jiàn)是我進(jìn)步的動(dòng)力。贈(zèng)語(yǔ)； 如果我們做與不做都會(huì)有人笑，如果做不好與做得好還會(huì)有人笑，那么我們索性就做得更好，來(lái)給人笑吧！ 現(xiàn)在你不玩命的學(xué)，以后命玩你。我不知道年少輕狂，我只知道勝者為王。不要做金錢(qián)、權(quán)利的奴隸；應(yīng)學(xué)會(huì)做“金錢(qián)、權(quán)利”的主人。什么時(shí)候離光明最近？那就是你覺(jué)得黑暗太黑的時(shí)候。最值得欣賞的風(fēng)景，是自己奮斗的足跡。壓力不是有人比你努力，而是那些比你牛幾倍的人依然比你努力。 參考