【正文】 有上面的注意，用秩的關系來證明，同時證明反過來的方法：也用秩的關系，設多個向量，根據(jù)已知，每個都都可以為之線性表出，那么相當于每個向量組都可以為之表出，R(A) =R(B)那么其中的向量組會有存在一個秩就等于維度的，要保持這種關系，那么B就會秩等于N。證明秩的關系的方法：如果有線性相關的問題，就用線性表出的秩的性質，如果沒有，那么假設，或者看能不能找到線性表出的秩的的關系，或者用極大無關組。R(A,B)=R(A)+R(B)可以把秩的個數(shù)轉變?yōu)闃O大無關組的向量的個數(shù)。如果A向量組為B向量組的極大無關組C向量組為D向量組的極大無關組，那么(A,C)等價于（B,D）新的組合。如果不取等號，只是小于，那么充要條件是：至少存在一個向量既可以用A向量組線性表出，又可以用B線性表出。如果取等號，說明A,B是極大無關組。矩陣的等價不同于向量組的等價。二者有關系，又存在差別矩陣的等價是指兩個矩陣經(jīng)過初等變換可以得到，而向量組的等價是指兩個向量組相互線性表出，向量組的等價向量組的個數(shù)可以不一樣，但是矩陣等價要求列個數(shù)一樣。當然這兩個都要求維度一樣的。如果兩個矩陣秩一樣，同類型（？？？？？？），則等價！列的初等變換可以知道變換后的矩陣的列向量組和原矩陣的列向量組是等價的。如果向量組個數(shù)相同的兩個向量組等價，那么他們的矩陣是否等價？等價的，因為可以線性表出，相當于乘以一個可逆的矩陣，那么相當于初等變換。但是有些結論是相同的，（如，矩陣等價說明秩是相同的，向量組等價秩也是相同的）如果兩個矩陣等價，能只通過列變換就等價的，那么推出向量組也等價了，否則不行。矩陣的秩等于非零階子式的最大值，就是書上前面的定義。證明：因為任意矩陣可以化成簡單初等矩陣，所以，可以看出了。注意：初等變換因為不改變秩，當然不改變可逆性，但是改變行列式的大小。而可逆矩陣可以相當于多個初等矩陣的乘積。（初等矩陣是由單位矩陣初等變換來的，當然也可逆了）行秩和列秩：行滿秩和列滿秩的意義是不同的，（除非方陣）。一個矩陣的秩如果行滿秩（秩等于維度），那么任何的相同維度的向量（或者向量組）都可以用這個矩陣的列向量組線性表出（證明見上面“一個性質”）（無法推出列向量組線性無關）一個矩陣如果列滿秩，那么這個列向量組線性無關。（因為秩等于極大無關組個數(shù)）同時AX＝0是沒有非零解的。所以解的問題是列秩的問題。（梯形矩陣的非零行個數(shù)不是行秩）A的轉置的秩等于A的秩。R (AB)=R(A),如果B可逆，那么就取等號，（否則不取等號）（如果A可逆，R (AB)=R(B)）因為：A=A B B1，那么R(A)=R(AB),可以推出相等，或者說，可逆矩陣等于多個初等矩陣的乘積，而初等變換不改變秩。更進一步的條件：（不一定是方陣了）如果A列滿秩，那么R (AB)=R(A)，如果B行滿秩，那么R (AB)=R(B)（用方程組來解釋，上面（很上面）我曾經(jīng)有解釋）如果AB＝0，那么R(A)+R(B)=N（A 的列秩）（用方程組來解釋）R(A)+R(B)n (A列秩) =R(AB)=min{A , B}如果一個矩陣可以表示成兩個非零向量的乘積(這和向量組的內積有聯(lián)系)，那么秩一定等于1（反之亦然，充要條件）（可以用上面的解釋）所以，如果知道一個方陣秩為1，那么AK＝tr(A)K1 A，（注意對比求AK的對角化的方法A=P1BP）(還可以利用多項是的特征向量的一些性質的)A為方陣，則A*的秩只能為三種情況（N,1,0）如果求一個矩陣混合式子的秩，要轉化，利用上面的一些性質，可逆的，大小的，等等轉化為已知的矩陣的秩。R(A,B)=R(A)說明B可以用A線性表出（反之亦然0兩個任意兩個矩陣之間的關系：關鍵之間的關系就是初等變換，任意一個矩陣都可以變化成簡單矩陣的形式。矩陣：伴隨矩陣：注意伴隨矩陣的排列順序不同于原矩陣的。（首先要方陣的（根據(jù)代數(shù)余子式的定義））性質：行列式的問題。可逆，秩的問題，特征值的問題，特征向量的問題。一般情況2階的求求逆矩陣，可用伴隨矩陣法。注意：(A*)1普通的性質：A*的行列式等于A的行列式的N1次方。（CA）*＝CN1A*AT*=(A*)(AB)*=B*A*當N2時，(A*)*=A的行列式的N2次方乘A，但是N=2時，(A*)*=A（證明的方式：用逆矩陣）（行列式的可以用行列式的性質，矩陣積的行列式等于各自行列式的積）因為AA*=detA 乘E,所以A的行列式乘A*的行列式等于A行列式的N次方。在利用A*與A1的關系時，只有行列式不為零時可以運用。學會利用基本的式子。當A為非零矩陣時A*=AT時，如果N2,那么A的行列式等于1。N=2?如果遇到初等變換可以用乘一個矩陣的這個性質來判定。初等矩陣要學會計算其行列式。初等矩陣的逆矩陣：（相當與前面求逆矩陣方法一樣的，怎么變乘單位矩陣，單位矩陣就怎么樣變。）分塊矩陣的運算：？？加法和乘法的運算法則都知道，那么秩？行列式怎么原算？轉置（轉置后每個再轉置）（最關鍵的是準對角矩陣）逆矩陣（準對角矩陣的逆矩陣是每個小部分逆就行了）糾正上面：分塊矩陣的加法和乘法的要求：首先當然AB能夠乘，就是A的列等于B的行，然后才能分，原則：A的列的分割方式和B 的行的分割方式應該一樣，這里的分割方式，一定要對應的，不是說整體的列和行一樣就行了，實質上是滿足對應的小矩陣可以相乘。當然一般整體上也是看的一種簡便的方式。兩個都是對角矩陣的矩陣（當然是方陣了）相乘，結果矩陣就等于對應的對角線上的相乘。準對角矩陣也是的。AB1=A1b1+A2b2+……和方程組一樣的原理。當然，AB的（i,j）元素是A的行B的列對應的，等于α Tβ＝行和列各元素對應的乘積的加和。矩陣的乘法可以用分塊矩陣做更容易?？闯珊竺娴南蛄拷M的思維，更快！AB可以把A分列，然后中間一個步驟就是與A線性相關的向量組的表示形式，然后整體算！如果A的系數(shù)比較簡單，用B的行來表達。找個式子看看！練習一下。矩陣多項式的運算：求逆和行列式1. 學會移動。利用A*的性質，和A*和A1的關系。利用行列式的性質。把未知量放在一起。最后也許還要求總體的逆。利用AB＝E。2. 轉換成已知。3. 數(shù)字的位置可以變換。4. 求高次方時，一般利用PAP15. 轉換成AX=BA????的形式。求A，初等變換A變到E，同時B也變？？？？？（利用A1B有點復雜）6. 分析：AB=AC能說明B=C嗎？什么條件可以？7. 如果有A*和A1那么利用A乘都可以得到。8. 如果給出的是明確的矩陣，有可能用到A*和A1，如果只給一些矩陣的關系，就用加減，變形等等的！9. 注意：E的位置可以任意動的！任意放的！10. 條件是提示！11. 如果想證明可交換，那么利用AA1=E可交換。多項式可以交換再證明。（例題見視頻）12. 證明可逆：利用定義，看特征值，利用秩。利用相似，向量等價。13. 結論：a1AK+a2AK1+……+an E=0只要an不等于零，那么A就可逆。一種方法：A()=an E另一種方法：特征值不存在零的。例題：A,B為隨便的矩陣，當然A可以乘B。那么EAB可逆和EBA可逆是充要條件。（利用特征值，因為AB和BA特征值一樣。因為BABā=λB?，而Bā，可以看作新的特征向量。）矩陣的乘法：AB的（i,j）元素：A行B列對應的乘積的加和。下面的很多性質都是根據(jù)這個可以證明的：如：（AB）T=BTATA0＝E矩陣無交換率：（A+B）2=A2+2AB+B2和A2B2=(AB)(A+B)的充要條件是AB=BA而(A+B)K=二項式定理，（AB）K=AKBK需的充分而不必要條件是AB=BA（就是說AB＝BA能滿足上面的式子，但是上面的式子成立不是能推出AB=BA的，或者說不要求AB＝BA也可能推出上面的例子的）但是同一個矩陣的多項式可以分解的了。初等變換：初等矩陣的思想，知道是從單位矩陣怎么變的成什么樣子了。思想直接出現(xiàn)結果。證明左乘個初等矩陣就是行變換，右乘等于列變換。（方法是矩陣分塊，也就是列向量組和行向量組）不妨以右乘來講解：則如果初等矩陣是交換行（或列）形成的，那么就都是對應的列向量組交換，如果某行（列）乘倍數(shù)，那么就是列向量組對應的倍數(shù)。AB=AC，不能推出B=C，但是如果A可逆的話，是可以的。A不可逆，是不可以的。（兩邊可以同時乘以A1）因此同時乘的推出的結論是可以。其他的也是這樣的。計算時，盡量避免P1,如P1AP=B可以用AP=PB當A的秩為1時一定可以化成兩個向量的乘積的，這樣可以求出N次方的了。當不能化成，試試看歸納法。或者化簡。如果證明高次方的，那么看看證明一次方的看看成立的。知道歸納法的形式，求矩陣，可以代入看看，逐步的代入。找規(guī)律的。對于上三角和下三角求冪的方法，如果對角線上值一樣，可以用等于一個數(shù)量矩陣加一個對角線為零的矩陣（對角線為零的N階矩陣，如果N次方以上就是等于零了），用二項式定理來求。兩個基本的矩陣方程：AX=B，XA＝B，（與向量組的相互線性表出一樣）從矩陣的角度出發(fā)，如果A可逆，那么兩邊同時乘A1那么X只有唯一的解了。從方程組的角度也是的。（注意這個與方程組AX＝B1與很大的關系，根據(jù)方程組，如果A的秩等于(A, B1)的秩，那么就有解，當然這是一個通用的條件，但是如果A方陣的話，這樣也行的，（因為如果行滿秩，任意向量都可以用之來線性表出，）或者這樣說(A, B1)的秩是大于等于A的秩的（對于解方程組非常的有利）?；蛘邚木仃嚮唩碚f前面的A矩陣是出現(xiàn)N行，后面的增廣矩陣不可能小于前面的。AX=B比較簡便的計算，如果A可逆，那么X的結果的計算方式是（A,B）初等行變換，A變成E，同時B也初等行變換，那么B變成的結果就是X了，原理：因為X=A1B要求A1要左乘B，所以只能初等行變換，A變到E就相當于乘個A1那么，B所以也要同時變了。XA＝B，用轉置，XTAT=BT同樣的和上面的方法一樣。但是結果對應的是XT要再轉置回來?？赡婢仃嚕篈可逆，那么逆矩陣唯一。AB=E。CA=E，則B和C都是其逆矩陣。二者相同。AX=E,XB=E，那么都有唯一解。如果前提是方陣，那么AX＝E，表示可逆，否則，不行。但是不說方陣，AX=XA＝E也行。求逆矩陣的方法，AX=E,A行變換到E，E同樣變換就行了，和上面AX=B，如果A可逆，A行變換到E，B同樣變換。如果A，B，C，D都是方陣，而且ABCD＝E，那么，A,B,C,D都是可逆的，方法：行列式。分別求出來。那么，BCDA＝E，其他的也可以推出。A,B都可逆，那么AB也可逆，反之不行。階梯矩陣：（行初等變換來的）階梯矩陣不唯一，但是簡單階梯矩陣是唯一的。但是非零的行數(shù)是一定的。階梯矩陣：（如果為方陣，對角線上的元素可以為零）（上三角矩陣（當然是方陣）不一定是階梯矩陣，因為要滿足下面的條件，而上三角只是滿足對角線下的都為零的，沒有這種要求））各行中第一個非零元素的左邊的零的個數(shù)一定是遞增的。（相等也不行）（或者說是個行第一個非零元素的列號是單調遞增的。）性質：去掉某一行后，原是階梯型的矩陣還是階梯型的。（因為不改變那個遞增的原則，或者說列號是不變的）但是列就不一樣了，去掉某一列后，就不一定是是梯矩陣的。列號就變化了，比如說本來相差一個列號的，后面的一列就上來了，現(xiàn)在都相等了，就不行了。但是如果去最右列那么就是對的了，后面一列沒有的，就沒有辦法上來的。同時可以推出：(A,B)是梯矩陣，那么A也是梯矩陣。（利用上面的可以解釋）行列式：有一個的不同與上下三角的，反過來的，行列式是側對角線的乘積，然后CN2這是1的指數(shù)。如果矩陣里面有未知量，而且讓你行列式里面求未知量的系數(shù)，怎么辦？第三類初等變換不改變行列式的值！就是說第三類的初等矩陣的行列式是1。數(shù)乘的行列式，等于系數(shù)的N次方。/α，β1+β2，γ/＝ /α，β1，γ/ + /α，β2，γ//A+B/的結果根據(jù)上面的/α1+α2，β1+β2，γ1+γ2/＝給他多次分解一般分為2N個。拉普拉斯定理范德蒙行列式，行列式不等于零，那么，那個N個元素給不相同。如何求代數(shù)余子式的和？和余子式（沒有系數(shù)的那種）的和。假如說求某一行的代入余子式的和，那么，因為代數(shù)余子式不管本行的式，那么可以先看看代數(shù)余子式與剩下的行列式的系數(shù)問題，創(chuàng)造一個新的矩陣的行列式。（見視頻）記住一些行列式的結論。（見視頻）遞推思路。字母對等原理。方程組：克來母法則：AX=B（B為一個向量）。如果A的行列式不等于零，那么只有唯一解(上面從值的角度來講了)而且X=A1B，具體的解上面也已經(jīng)寫出了。（同時前面也講了，如果線性表出的形式唯一，那么A向量組線性無關）（通過變換）而AX=B（B為矩陣），/A/不等于零，也是唯一解。而這里給了另一個計算的方式：