【正文】 系的任何非零線性組合就是屬于A的特征值λ的所有特征向量。11． 矩陣A的特征值與矩陣的行列式|A|之間有什么關(guān)系？【知識點】：矩陣的特征值，矩陣的行列式。答：|A|=矩陣A的所有特征值的乘積。12． 矩陣A的特征值與矩陣A的主對角線上的元素之間有什么關(guān)系？【知識點】：矩陣的特征值，矩陣A的主對角線上的元素之和。答：矩陣A的所有特征值之和=矩陣A的主對角線上的元素之和。13． 兩個同階矩陣A,B相似的條件是什么？【知識點】：矩陣相似。答：存在可逆矩陣C使得C－1AC=B。14． 相似矩陣A,B的行列式是否相等？由此可得什么結(jié)論？【知識點】：相似矩陣的行列式。答：相似矩陣A,B的行列式相等?？傻茫合嗨凭仃嘇,B同時可逆或同時不可逆。15． 如果兩個相似矩陣A,B是可逆的，那么它們的逆是否也相似？【知識點】：相似可逆矩陣的性質(zhì)。答：兩個可逆的矩陣A,B如果相似，那么它們的逆也相似。16． 如果兩個矩陣A,B相似，那么它們的數(shù)乘、冪是否也相似？【知識點】：相似矩陣的性質(zhì)。答：如果兩個矩陣A,B相似，那么它們的數(shù)乘、冪也相似。17． 如果已知矩陣A的特征值，那么該矩陣的一個多項式矩陣f(A)的特征值怎樣計算？【知識點】：矩陣的多項式矩陣的特征值。答：將多項式矩陣f(A)的變量換成矩陣A的特征值代入計算就得到f(A)的特征值。18． 如果兩個矩陣A,B相似，那么它們的特征多項式、特征值是否相同？【知識點】：相似矩陣的特征多項式。答：如果兩個矩陣A,B相似，那么它們的特征多項式、特征值相同。19． 如果兩個矩陣A,B的特征多項式或特征值相同，那么這兩個矩陣是否相似？【知識點】：矩陣的特征多項式，矩陣的相似。答：不一定。例如： 的特征值都是2，但它們不相似。20． 相似矩陣的特征向量是否相同？【知識點】：矩陣的相似，特征向量。答：不相同。21． n階矩陣A與對角矩陣相似（矩陣可對角化）的充要條件是什么？【知識點】：矩陣可對角化的條件。答：矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量。22． 如果矩陣A與對角矩陣相似，那么對角矩陣的對角線上的元素是什么？【知識點】：矩陣對角化，特征值。答：如果矩陣A與對角矩陣相似，那么對角矩陣的對角線上的元素是矩陣A的特征值。23． 如果矩陣A與對角矩陣B相似，即存在可逆矩陣C使C－1AC=B，那么可逆矩陣C是怎樣構(gòu)成的？它與對角矩陣B有什么對應(yīng)關(guān)系？【知識點】：矩陣相似。答：可逆矩陣C由矩陣A的特征（列）向量構(gòu)成?？赡婢仃嘋的第j列是屬于對角矩陣B的第j個位置上的特征值的特征向量。24． n階矩陣A有n個互不相同的特征值是矩陣可對角化的什么條件？【知識點】：矩陣可對角化條件。答：n階矩陣A有n個互不相同的特征值是矩陣可對角化的充分條件。25． 實對稱矩陣A是否一定可對角化？【知識點】：實對稱矩陣，矩陣的對角化。答：實對稱矩陣A一定可對角化。26． 實對稱矩陣A的特征值都是實數(shù)嗎？【知識點】：實對稱矩陣的特征值。答：實對稱矩陣A的特征值都是實數(shù)。27． 非對稱矩陣是否一定可對角化？【知識點】：矩陣的對角化。答：非對稱矩陣不一定可對角化。例如：3階矩陣 只有兩個線性無關(guān)的特征向量，因此 不能對角化。28． 實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量一定正交嗎？【知識點】：實對稱矩陣的特征向量的性質(zhì)。答：實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量一定正交。29． 任何一個矩陣的屬于不同特征值的特征向量一定正交嗎？【知識點】：實對稱矩陣與一般矩陣的特征向量的區(qū)別。答：任何一個矩陣的屬于不同特征值的特征向量不一定正交。30． 實對稱矩陣可用正交矩陣對角化嗎？【知識點】：實對稱矩陣的對角化。答：實對稱矩陣可用正交矩陣對角化。31． 任何一個矩陣可用正交矩陣對角化嗎？【知識點】：實對稱矩陣與一般矩陣的對角化的區(qū)別。答：不行。32． 將實對稱矩陣A對角化的正交矩陣T是如何得到的？【知識點】：實對稱矩陣對角化的正交矩陣。答：先求出實對稱矩陣A的所有線性無關(guān)的特征向量，然后將它們正交化、單位化，最后以單位的正交特征向量為列構(gòu)成正交矩陣T就是所要的將實對稱矩陣對角化的正交矩陣。第六章 二次型 1． n元二次型是如何定義的？【知識點】：二次型的概念。答：n元二次型是n個變量的二次齊次多項式，即 。2． 二次型 的矩陣A的表示形式有什么要求？【知識點】：二次型的矩陣的表示。答：二次型的矩陣A是對稱矩陣A=(aij)，那么二次型 就可以表示為XTAX其中X=（x1，x2，…，xn）T。3． 二次型與對稱矩陣之間有什么聯(lián)系？【知識點】：二次型，對稱矩陣。答：二次型與對稱矩陣之間有一一對應(yīng)的關(guān)系。4． 二次型 的秩是怎樣定義的？【知識點】：二次型的秩。答：二次型 的秩是二次型的矩陣A的秩。5． 何為二次型 的標(biāo)準(zhǔn)型和正規(guī)型？【知識點】：二次型的標(biāo)準(zhǔn)型和正規(guī)型的概念。答：二次型 的標(biāo)準(zhǔn)型是只含有平方項的二次型。二次型 的正規(guī)型是平方項的系數(shù)只能為1或－1的標(biāo)準(zhǔn)型。6． 何為滿秩線性變換、正交變換？【知識點】：滿秩線性變換，正交變換。答：滿秩線性變換是系數(shù)矩陣為可逆的線性變換。正交變換是系數(shù)矩陣為正交矩陣的線性變換。7． 二次型經(jīng)過滿秩線性變換后變成什么？【知識點】：二次型的線性變換。答：二次型經(jīng)過滿秩線性變換后還是二次型。8． 兩個n階方陣A,B合同是什么含義？【知識點】：方陣的合同。答：n階方陣A,B合同是指存在可逆矩陣C使得CTAC=B.9． 二次型XTAX經(jīng)過滿秩線性變換X=CY后得到的二次型的矩陣B與原二次型的矩陣A之間的關(guān)系是什么？【知識點】：二次型的線性變換，二次型的矩陣。答：合同，即CTAC=B。10． 任意一個實二次型XTAX是否都可經(jīng)過一個滿秩線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型？【知識點】：二次型的線性變換，標(biāo)準(zhǔn)型。答：任意一個實二次型XTAX都可以經(jīng)過一個滿秩線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型。11． 任意一個實對稱矩陣A是否都合同于一個對角矩陣？【知識點】：實對稱矩陣，合同，對角矩陣。答：任意一個實對稱矩陣A都合同于一個對角矩陣。12． 將一個二次型XTAX化為標(biāo)準(zhǔn)型有哪兩種常用方法？【知識點】：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法。答：配方法和正交變換法。13． 用正交變換法化二次型XTAX為標(biāo)準(zhǔn)型的過程是怎樣的？【知識點】：正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。答：將二次型的對稱矩陣用正交矩陣對角化的過程。14． 二次型通過XTAX正交變換法得到的標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)是什么？【知識點】：正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。答：二次型通過XTAX正交變換法得到的標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)是二次型XTAX的矩陣A的特征值。15． 用配方法得到的標(biāo)準(zhǔn)型與用正交變換法得到的標(biāo)準(zhǔn)型是否一定相同？【知識點】：配方法，正交變換法。答：用配方法得到的標(biāo)準(zhǔn)型與用正交變換法得到的標(biāo)準(zhǔn)型不一定相同。16． 二次型XTAX的正規(guī)型是否唯一？【知識點】：二次型的正規(guī)型。答：不計符號的順序下是唯一。17． 二次型XTAX的標(biāo)準(zhǔn)型中正項的項數(shù)和負項的項數(shù)分別叫什么？【知識點】：二次型的正慣性指數(shù)、負慣性指數(shù)。答：二次型XTAX的標(biāo)準(zhǔn)型中正項的項數(shù)和負項的項數(shù)分別叫正慣性指數(shù)和負慣性指數(shù)。18． 同一個二次型XTAX的不同標(biāo)準(zhǔn)型之間哪些量是不變的？【知識點】：二次型的秩、正慣性指數(shù)和負慣性指數(shù)。答：二次型XTAX的秩、正慣性指數(shù)和負慣性指數(shù)。19． 兩個同階實對稱矩陣A，B合同的充要條件是它們嗎？【知識點】：實對稱矩陣合同的充要條件，矩陣的秩。答：兩個同階實對稱矩陣A，B合同有相同的秩不是合同的充要條件。充要條件是有相同的秩和相同的正慣性指數(shù)。20． 實二次型f(x1,x2,…,xn)為正定的定義是什么？【知識點】：正定的實二次型。答：實二次型f(x1,x2,…,xn)為正定：對于任意一組不全為零的實數(shù)c1,c2,…,都有f(c1,c2,…,)0。21． n階矩陣A成為正定矩陣有什么條件？【知識點】：正定矩陣。答： A必須是對稱矩陣且XTAX是正定二次型。22． 實二次型XTAX的矩陣A的主對角線上的元素全大于零是正定二次型的充要條件嗎？【知識點】：正定二次型的條件。答：不是。它是必要條件。23． 實二次型XTAX為正定的有哪些等價條件？【知識點】：正定實二次型的等價條件。答：(1)XTAX是正定二次型；(2) XTAX 的正慣性指數(shù)=n。 (3) A與單位矩陣E合同；(4)A的特征值全大于0；(5)A的所有順序主子式大于0。24． 矩陣A的特征值全大于零是否為正定矩陣的充要條件？【知識點】：矩陣的特征值，正定矩陣。答：不是。只有當(dāng)矩陣A是對稱矩陣時，矩陣A的特征值全大于零是才是正定矩陣的充要條件。25． 矩陣與矩陣之間有等價、相似、合同這樣一些關(guān)系，它們之間有什么樣的關(guān)系？【知識點】：矩陣與矩陣之間的等價、相似、合同。答：等價的矩陣要求兩個矩陣是同型的。相似要求矩陣A，B是方陣且有關(guān)系：CTAC=B。合同要求矩陣A，B是對稱矩陣且有關(guān)系：C－1AC=B。合同的矩陣不一定是相似的，相似的矩陣也不一定是合同的。合同的矩陣一定是等價的，相似的矩陣一定是等價的。等價的方陣不一定是合同或相似的。26． 同階正定矩陣A，B的乘積仍為正定矩陣嗎？【知識點】：正定矩陣的乘積的性質(zhì)。答：同階正定矩陣A，B的乘積不一定為正定矩陣，因為A，B的乘積AB未必是對稱矩陣。27． 同階正定矩陣的和仍為正定矩陣嗎？【知識點】：正定矩陣的和的性質(zhì)。答：同階正定矩陣的和仍是正定矩陣。28． 正定矩陣是可逆的嗎？【知識點】：正定矩陣，可逆矩陣。答：正定矩陣是可逆，因為正定矩陣的行列式必定不為0。29． 正定矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是正定矩陣嗎？【知識點】：正定矩陣，轉(zhuǎn)置矩陣。答：正定矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是正定矩陣。30． 正定矩陣的伴隨矩陣是正定矩陣嗎？【知識點】：正定矩陣，伴隨矩陣。答：正定矩陣的伴隨矩陣是正定矩陣。31． 正定矩陣的逆是正定矩陣嗎？【知識點】：正定矩陣，逆矩陣。答：正定矩陣的逆是正定矩陣。32． 行列式大于零的實對稱矩陣是正定矩陣嗎？【知識點】：實對稱矩陣，正定矩陣，行列式。 答：不是。行列式大于零是實對稱矩陣為正定矩陣的必要條件，不是充分條件。