線性代數(shù)性質(zhì)公式整理-文庫吧在線文庫
【正文】 j1a2j2a1na21a22anjn的代數(shù)和，這里j1j2. . . .線性代數(shù)第一章 行列式一、相關(guān)概念——n階行列式a11a12當(dāng)j1j2an1an2式()稱為n階行列式的完全展開式。ann中劃去aij所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原來的位置排法構(gòu)成的一個(gè)n1階的行列式a11ai1,1An1A12A22BOAB*=OAB*=(1)mnA B|≠|(zhì)A|177。am1am2記成C=AB=[cij]mn，其中 cij=k=1saikbkj=ai1b1j+ai2b2j+③對角陣：非對角元素都是0的矩陣稱為對角陣，記成Λ。A1五、可逆矩陣：若A可逆則A的逆矩陣唯一且|A|不為0。) ——①初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍然是初等矩陣；②初等矩陣均是可逆矩陣且其逆矩陣仍是同一類型的初等矩陣 Ei1k=Ei1k， Eij1=Eij， Eij1k=Eijk③P1AP2 左行右列④當(dāng)A時(shí)可逆矩陣時(shí)，則A可作一系列初等行變換成單位矩陣，即存在初等矩陣P1，P2，八、分塊矩陣——將矩陣用若干縱線和橫線分成許多小塊，每一小塊稱為原矩陣的子矩陣(或子塊)，把子塊看成原矩陣的一個(gè)元素，則原矩陣叫分塊矩陣。,Aβs=[0,0,anT，分別稱為n維行向量或n維列向量，數(shù)ai稱為向量的第i個(gè)分量。,bn)T (加法) α+β=(a1+b1,a2+b2,+an2為向量α的長度。,km所構(gòu)成的向量k1a1+k2a2+,ks，使得k1a1+k2a2+,βt；如果(Ⅰ)中每個(gè)向量ai都可由(Ⅱ)中的向量β1,β2, 等價(jià)的向量組有相同的秩，但秩相等的向量組不一定等價(jià)。,as)s②n個(gè)n維向量a1,a2,as必線性相關(guān)。⑥n維向量β可由a1,a2,as ；(Ⅱ) β1,β2,as線性無關(guān)，則s≤t三、極大線性無關(guān)組、秩——設(shè)向量組a1,a2,as的一個(gè)極大線性無關(guān)組。記為ra1,a2,βs線性表出，則rⅠ≤rⅡ—— 求向量組的極大無關(guān)組時(shí)，只能都作行變換(或都做列變換)，不能混合行列變換。+a1nxn=b1a21x1+a22x2+二、齊次線性方程組——n個(gè)未知量m個(gè)方程組成的方程組 向量形式：α1x1+α2x2+,ξnr線性無關(guān)；②AX=0的任一解向量ξ均可由ξ1,ξ2,an=n AX=0有非零解?方程組的列向量組線性相關(guān)? ra1,a2,amjT 矩陣形式：Am*nX=b b=b1,b2,αn線性無關(guān)，α1,α2,αn線性相關(guān)，b可由α1,α2,bn，故AX=0的系數(shù)行向量αi和解向量β有如下關(guān)系：αiβT=0，故A的行向量與AX=0的解向量是正交向量；βαiT=0，即將解向量作齊次方程組的行向量時(shí)，A的行向量既是該方程組的解向量。P269二、相似矩陣、矩陣的相似對角化——設(shè)A、B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P1AP=B，則稱A相似于B，記成A~B?！佴薾， →A有n個(gè)線性無關(guān)特征向量α1,α2,…,αn ?A可相似于對角陣。我不知道年少輕狂，我只知道勝者為王。②λ1≠λ2是A的特征值→A的對應(yīng)于λ1,λ2的特征向量α1,α2線性無關(guān)?！O(shè)A=aijnn,λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，則 ①i=1nλi=i=1naii； ②i=1nλi=A、特征向量的方法——方法一：設(shè)A=aijnn，則由λEA=0求出A的全部特征值λ，再有齊次線性方程組λiEAX=0求出A的對應(yīng)于特征值λi的特征向量。=b的通解結(jié)構(gòu)——對應(yīng)的齊次通解+非齊次的一個(gè)特解。,αn?α1,α2,推廣到多個(gè)解=0有解的條件——齊次線性方程AX=0一定有解，至少有非零解。等價(jià)于： (加入任一解向量ξ，使得ξ1,ξ2,xn，使每個(gè)方程等式成立，則稱c1,c2,an1x1+an2x2+—— 設(shè)向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，其正交規(guī)范化方法步驟如下： 令β1=α1 β2=α2(α2,β1)(β1,β1)β1 β3=α3(α3,β1)(β1,β1)β1(α3,β2)(β2,β2)β2，則β1，β2，β3兩兩正交。 (ra1,a2,——向量a1,a2,air必線性相關(guān)；(向量組a1,a2,as線性表出，且表示方法唯一。,am=ra1,a2,as線性無關(guān)，則它的延伸組a1β1,a2β2,——①n維向量組a1,a2,+ksas≠0，或者，當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2=,as，如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,如果(Ⅰ) 、(Ⅱ)這兩個(gè)向量組可以互相線性表出，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。,an)T 與n維向量β=(b1,b2,稱為初等變換。an]④上(下)三角陣：當(dāng)ijij時(shí)，有aij=0的矩陣稱為上(下)三角陣。如果一個(gè)矩陣所有元素都是0，則稱為零矩陣，記作O。a2n由于Aij的值與aij的值沒有關(guān)系，故可以構(gòu)造一個(gè)新的行列式|B|，通過求新行列式的代數(shù)余子式間接求出原行列式的代數(shù)余子式。 ③對于n階的三對角行列式，通?？捎脭?shù)學(xué)歸納法。1x1x2+anjAnj=k=1nakjAkj |A|按j列展開的展開式四、行列式的公式(下)三角形行列式的值等于主
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