線性代數(shù)性質(zhì)公式整理(已修改)
2025-07-06 02:30 本頁(yè)面
【正文】 . . . .線性代數(shù)第一章 行列式一、相關(guān)概念——n階行列式a11a12a1na21a22a2nan1an2ann是所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積a1j1a2j2anjn的代數(shù)和，這里j1j2jn是1，2，n的一個(gè)排列。當(dāng)j1j2jn是偶排列時(shí)，該項(xiàng)的前面帶正號(hào)；當(dāng)j1j2jn是奇排列時(shí)，該項(xiàng)的前面帶負(fù)號(hào)，即a11a12a1na21a22a2nan1an2ann=j1j2jn(1)τj1j2jna1j1a2j2anjn ()這里j1j2jn 表示對(duì)所有n階排列求和。式()稱為n階行列式的完全展開式?！粋€(gè)排列中，如果一個(gè)大的數(shù)排列在小的數(shù)之前，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序。一個(gè)排列的逆序總是稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。用τj1j2jn表示排列j1j2jn的逆序數(shù)?！绻粋€(gè)排列的逆序數(shù)是偶數(shù)，則稱這個(gè)排列為偶排列，否則稱為奇排列?！猘bcd=adbc，a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32——在n階行列式a11a12a1na21a22a2nan1an2ann中劃去aij所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原來(lái)的位置排法構(gòu)成的一個(gè)n1階的行列式a11a1,j1a1,j+1a1nai1,1ai1,j1ai1,j+1ai1,nai+1,1ai+1,j1ai+1,j+1ai+1,nan1an,j1an,j+1ann稱為aij的余子式，記為Mij；稱(1)i+jMij為aij的代數(shù)余子式，記為Aij，即Aij=(1)i+jMij?！删仃嘇的行列式|A|所有的代數(shù)余子式所構(gòu)成的形如A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn，稱為A的伴隨矩陣，記作A*。二、行列式的性質(zhì)，即AT=A→行列式行的性質(zhì)與列的性質(zhì)是對(duì)等的。，行列式的值變號(hào)。特別地，兩行相同(或兩行成比例)，行列式的值為0.，則可把k提出行列式記號(hào)外。(或列)是兩個(gè)元素之和，則可把行列式拆成兩個(gè)行列式之和：a1+b1a2+b2a3+b3c1c2c3d1d2d3=a1a2a3c1c2c3d1d2d3+b1b2b3c1c2c3d1d2d3，行列式的值不變：a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1a2a3b1+ka1b2+ka2b3+ka3c1c2c3——行列式 任一行元素 與 另一行元素的代數(shù)余子式 乘積之和為0三、行列式展開公式n階行列式的值等于它的任何一行(列)元素，與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即A=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin=k=1naikAik |A|按i行展開的展開式A=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj=k=1nakjAkj |A|按j列展開的展開式四、行列式的公式(下)三角形行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積；=(1)n(n1)2a1na2,n1an1：如果A和B分別是m階和n階矩陣，則A*OB=AO*B=ABOAB*=OAB*=(1)mnAB 111x1x2xnx12x22xn2 x1n1x2n1xnn1=1≤j≤i≤n(xixj) (矩陣)若A、B都是n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若A可逆，λi(i=1,2…,n)是A的特征值：AT=A； kA=knA； |AB|=|A||B|； A2=A2； A*=An1 A1=1A； A=i=1nλi； 若A~B，則A=B，且特征值相同。 AA*=A*A=AE一般情況下：|A177。B|≠|(zhì)A|177。|B|五、行列式的計(jì)算將行列式化為上下三角，再按行或列展開；化簡(jiǎn)技巧：①將每列(行)都加到同一列(行)，或者將每列(行)ki倍都加到同一列(行)。 ②逐行(或逐列)相加 ③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展開式數(shù)學(xué)歸納法——①驗(yàn)證n=1時(shí)命題正確；假設(shè)n=k時(shí)命題正確；證明n=k+1時(shí)，命題正確。 ②驗(yàn)證n=1和n=2時(shí)命題都正確，假設(shè)nk命題正確，證明n=k，命題正確。 ③對(duì)于n階的三對(duì)角行列式，通常可用數(shù)學(xué)歸納法?！ǔＥc矩陣一起考，利用行列式的性質(zhì)(倍加、提公因數(shù)k、拆項(xiàng))等來(lái)恒等變形；也可能利用矩陣的運(yùn)算、公式、法則、特征值、相似。 ☆利用單位矩陣 E=AA1=A1A 恒等變形來(lái)計(jì)算|A+B|形式的行列式。|A|是否為0的判定若A=[α1
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