線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納整理-文庫(kù)吧資料
2025-07-04 21:06本頁(yè)面
【正文】 909作業(yè)P11全部2行向量、列向量、零向量、負(fù)向量的概念詳見(jiàn)課本P9293將列向量組的分量排成矩陣計(jì)算時(shí)，計(jì)算過(guò)程中只做行變換，不做列變換。2齊次線(xiàn)性方程組與非齊次線(xiàn)性方程組（不含向量）（1）定義：課本P81（2）方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本P81（3）系數(shù)矩陣A、增廣矩陣、矩陣式方程：課本P82（4）矛盾方程組（方程組無(wú)解）：課本P85例題（5）增廣矩陣的最簡(jiǎn)階梯形：課本P87（6）系數(shù)矩陣的最簡(jiǎn)階梯形：課本P87（7）課本P87下面有注明：交換列只是交換兩個(gè)未知量的位置，不改變方程組的解。詳見(jiàn)課本P702線(xiàn)性方程組概念線(xiàn)性方程組是各個(gè)方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。A ＝ n2A （因?yàn)锳A－1 ＝ E，所以A－1的逆矩陣是A，即(A－1)－1 ）⑤ (AB) *＝B*A*⑥ (A*)1＝(A1) *＝（4）例題：課本P5課本P55 、課本P5課本P60第6大題、作業(yè)P7第2題、作業(yè)P8全部1矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：（1）定義：課本P6162（2）任何一個(gè)非零矩陣都可以通過(guò)若干次初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的秩：（1）定義：課本P63（2）性質(zhì)：設(shè)A是mn的矩陣，B是pq的矩陣，則① 若k是非零數(shù)，則R (kA)＝R (A)② R (A)＝R (AT )③ 等價(jià)矩陣有相同的秩，即若AB，則R (A)＝R (B)④ 0≤R (Amn)≤min⑤ R (AB)≤min⑥ 設(shè)A與B都是mn矩陣，則R (A＋B)≤R (A)＋R (B)（3）n階方陣A可逆的充要條件是：A的秩等于其階數(shù)，即R (A)＝n（4）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積。(A－1)－1 ＝ n | A－1|| A－1| ＝ nA1 ＝ k n 例題：課本P4作業(yè)P6全部、課本P51第2大題1逆矩陣（1）設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB＝BA＝E，則稱(chēng)方陣A是可逆的，并稱(chēng)B為A的逆矩陣.（由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣）（2）如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的，并將A的逆矩陣記作A－1，AA－1＝E（3）n階方陣A可逆的充要條件為≠0，并且，當(dāng)A可逆時(shí)，A－1＝（證明詳見(jiàn)課本P54） 例題：課本P59第1大題（4）可逆矩陣也稱(chēng)為非奇異方陣（否則稱(chēng)為奇異方陣）（5）性質(zhì)：設(shè)A，B都是n階的可逆方陣，常數(shù)k≠0，那么① (A－1)－1＝A ② AT也可逆，并且(AT )1＝(A1)T③ kA也可逆，并且 (kA)1＝A1 ④ AB也可逆，并且(AB) 1＝B1A1⑤ A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)1≠A1＋B1⑥ AA1＝E AA1＝E＝1 AA1＝1 A1＝ 例題：、作業(yè)P7第1題（6）分塊對(duì)角矩陣的可逆性：課本P57（7）由方陣等式求逆矩陣：（8）單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的（初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過(guò)初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1≠0可逆，所以初等矩陣可逆）（9）初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣（10）任一可逆方陣都可以通過(guò)若干次初等行變換化成單位矩陣（11）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積（證明：課本P67）（12）利用初等行變換求逆矩陣：A1（例題：課本P6課本P71）（13）形如AX＝B的矩陣方程，當(dāng)方陣A可逆時(shí)，有A1 AX＝A1B，即X＝A1B.此時(shí)有：矩陣方程的例題：課本P3課本P6課本P41第6大題、課本P5課本P5課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P60第7大題、課本P71第3大題矩陣方程計(jì)算中易犯的錯(cuò)誤：課
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