線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納同濟(jì)第五版-文庫(kù)吧資料
2025-07-04 21:51本頁(yè)面
【正文】 ? 線(xiàn)性相關(guān)性的性質(zhì)① 零向量是任何向量的線(xiàn)性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.② 單個(gè)零向量線(xiàn)性相關(guān)；單個(gè)非零向量線(xiàn)性無(wú)關(guān).③ 部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān),部分必?zé)o關(guān). （向量個(gè)數(shù)變動(dòng)）④ 原向量組無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān). （向量維數(shù)變動(dòng)）⑤ 兩個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān).⑥ 向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線(xiàn)性組合.⑦ 若線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而線(xiàn)性相關(guān),則可由線(xiàn)性表示,且表示法唯一. 4. 最大無(wú)關(guān)組相關(guān)知識(shí)向量組的秩 向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)， 矩陣等價(jià) 經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為. 向量組等價(jià) 和可以相互線(xiàn)性表示. 記作：① 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩. 行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).② 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行（列）向量間的線(xiàn)性關(guān)系③ 向量組可由向量組線(xiàn)性表示,且，則線(xiàn)性相關(guān).向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān),且可由線(xiàn)性表示,則≤.④ 向量組可由向量組線(xiàn)性表示,且,則兩向量組等價(jià)；⑤ .⑥ 向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一，但極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定.⑦ 若兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.⑧ 設(shè)是矩陣,若，的行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)；5. 線(xiàn)性方程組理論線(xiàn)性方程組的矩陣式 向量式 其中 （1）解得判別定理（2）線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)： (3) 判斷是的基礎(chǔ)解系的條件： ① 線(xiàn)性無(wú)關(guān)； ② 都是的解； ③ .(4) 求非齊次線(xiàn)性方程組Ax = b的通解的步驟 例 求下述方程組的解 解 ,由于，知線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解. 原方程組等價(jià)于方程組,令 求得等價(jià)方程組對(duì)應(yīng)的奇次方程組的基礎(chǔ)解系 求特解: 令，得 故特解為 所以方程組的通解為 ，（為任意常數(shù)）.（5）其他性質(zhì) 一個(gè)齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一.√ 若是的一個(gè)解，是的一個(gè)解線(xiàn)性無(wú)關(guān)√ 與同解（列向量個(gè)數(shù)相同）, 且有結(jié)果：① 它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等； ② 它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線(xiàn)性相關(guān)性； ③ 它們有相同的內(nèi)在線(xiàn)性關(guān)系.√ 矩陣與的行向量組等價(jià)齊次方程組與同解（左乘可逆矩陣）； 矩陣與的列向量組等價(jià)（右乘可逆矩陣）.第四部分 方陣的特征值及特征向量1. 施密特正交化過(guò)程2. 特征值、特征向量的性質(zhì)及計(jì)算3. 矩陣的相似對(duì)角化，尤其是對(duì)稱(chēng)陣的相似對(duì)角化1.? 標(biāo)準(zhǔn)正交基 個(gè)維線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1. ? 向量與的內(nèi)積 ? . 記為： ④ 向量的長(zhǎng)度 ⑤ 是單位向量 . 即長(zhǎng)度為的向量.2. 內(nèi)積的性質(zhì)： ① 正定性： ② 對(duì)稱(chēng)性：③ 線(xiàn)性性： 3. ? 設(shè)A是一個(gè)n階方陣, 若存在數(shù)和n維非零列向量, 使得
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