【正文】 因為 A + B = ? 2 ?2 ?( A + B)2 = ? 2 ?2 ?但A2 + 2 AB + B2 = ? 3 8 ? + ? 6 8 ? + ?1 ? 4 11? ? 8 12 ? ? 3 ? ? ? ? ?所以(A+B)2≠A2+2AB+B2.成都大學(xué)詩葉子制作 21 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集(3)(A+B)(A?B)=A2?B2 嗎? 解 (A+B)(A?B)≠A2?B2.2? , A ? B = ? 0 ?0 5? ? ? 2 ?? 0 5 ?? 0 ?? 2? , 1? ? 6? , 9? ?因為 A + B = ? 2 ?2 ?( A + B)( A ? B) = ? 2 ?2 ?2? = ? 0 1? ?0 ? ? 8? , 7? ?而A2 ? B2 = ? 3 8 ? ? ? 1 0 ? = ? 2 ? 4 11? ? 3 4 ? ? 1 ? ? ? ? ?故(A+B)(A?B)≠A2?B2.6. 舉反列說明下列命題是錯誤的: (1)若 A2=0, 則 A=0。 ? 3? ? ?解? 2 (?1) 2 2 ? ? ? 2 ? 2? ? 1 ?(?1 2) = ? 1 (?1) 1 2 ? = ? ?1 ? 3? ? 3 (?1) 3 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ?3 ?1 ?3 0 1? 2? 。 ? 5 7 0 ?? 1 ? ? ?? ?解? 4 3 1 ?? 7 ? ? 4 7 + 3 2 +11 ? ? 35 ? ? 1 ? 2 3?? 2 ? = ?1 7 + (?2) 2 + 31? = ? 6 ? . ? 5 7 0 ?? 1 ? ? 5 7 + 7 2 + 01 ? ? 49 ? ? ?? ? ? ? ? ?? 3? (2) (1 2 3)? 2 ? 。=0 或 λ=1.于是, 當(dāng) 181。λ . 1 2181。 1 = 181。x2 + x3 = 0 有非 ?x1 + 2181。 2x1 ? 3x2 ? x3 ? 5x4 = ?2 ?3x + x + 2x +11x = 0 ? 1 2 3 4n解因為1 1 D= 2 3 1 2 ?3 1 1 ?1 ?1 2 1 4 ? 5 = ?142 , 11 1 1 4 = ?142 , D = 1 2 ?5 2 11 3 5 ?2 ?2 0 1 ?1 ?1 2 1 4 ? 5 = ?284 , 115 ?2 D1 = ? 2 0 1 1 D3 = 2 31 2 ?3 11 ?1 ?1 21 2 ?3 15 ?2 ?2 01 1 4 = ?426 , D = 1 4 2 ?5 11 31 2 ?3 11 ?1 ?1 25 ? 2 =142 , ?2 0成都大學(xué)詩葉子制作 15 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集所以x1 = D D1 D D =1 , x2 = 2 = 2 , x3 = 3 = 3 , x4 = 4 = ?1. D D D D=1 ?5x1 + 6x2 =0 ? x1 + 5x2 + 6x3 ? x2 + 5x3 + 6x4 = 0 . (2) ? x3 + 5x4 + 6x5 = 0 ? ? x4 + 5x5 =1 ? 解 因為5 1 D= 0 0 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 0 = 665 , 6 51 0 D1 = 0 0 1 5 1 D3 = 0 0 0 5 1 D5 = 0 0 06 5 1 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 00 6 5 1 0 1 0 0 0 1 0 6 5 1 00 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 6 5 10 5 0 1 0 =1507 , D2 = 0 6 0 5 0 0 5 0 1 0 = 703 , D4 = 0 6 0 5 0 1 0 0 = 212 , 0 11 0 0 0 1 6 5 1 0 00 6 5 1 0 0 6 5 1 00 0 6 5 1 1 0 0 0 10 0 0 = ?1145 , 6 5 0 0 0 = ?395 , 6 5所以成都大學(xué)詩葉子制作 16 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集x1 = 1507 , x2 = ?1145 , x3 = 703 , x4 = ? 395 , x4 = 212 . 665 665 665 665 665 ?λx1 + x2 + x3 = 0 ? 9. 問 λ, 181。 ?? dnan?? ??(4) D2n =a1 b1 c1 d1解an D2n = ?? ?? ? ? ? ?? ? bn (按第 1 行展開) dna1 b1 c1 d1??an?1 = an ?1 0?? ??? ?a1 b1 c1 d1 L??? ?bn?1 0??dn?1 0 0 dn成都大學(xué)詩葉子制作 12 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集0 an?1 + (?1)2n+1bn ?1 ?? ? ? ? ?? ? bn?1??a1 b1 c1 d 1??.d n?1 0再按最后一行展開得遞推公式 D2n=andnD2n?2?bnD2n?2, 即 D2n=(andn?bn)D2n?2. 于是 而 所以D2n = ∏(aidi ? bici )D2 .i =2 nD2 =a1 b1 = a d ?b c , c1 d1 1 1 1 1n i =1D2n = ∏ (aidi ? bici ) .(5) D=det(aij), 其中 aij=|i?j|。gt。gt。gt。gt。 x成都大學(xué)詩葉子制作 10 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集解 將第一行乘(?1)分別加到其余各行, 得x a a a? x x?a 0 Dn = a ? x 0 x ? a ??? ??? ??? a?x 0 0 ??? a ??? 0 ??? 0 , ??? ??? 0 x?a再將各列都加到第一列上, 得x + (n ?1)a a a 0 x?a 0 Dn = 0 0 x ?a ??? ??? ??? 0 0 0??? a ??? 0 n?1 ? ? ? 0 =[x+(n?1)a](x?a) . ??? ??? 0 x?aan (a ?1)n an?1 (a ?1)n?1 (3) Dn+1 = ? ? ? ? ? ? a a ?1 1 1解? ? ? (a ? n)n ? ? ? (a ? n)n?1 。、或依副對角線翻轉(zhuǎn), 依次得an1 ? ? ? ann D1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , a11 ? ? ? a1n a1n ? ? ? ann ann ? ? ? a1n D2 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , D3 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , a11 ? ? ? an1 an1 ? ? ? a11證明 D1 = D2 = (?1) 證明n(n ?1) 2D , D3=D .??? ??? ??? ???因為 D=det(aij), 所以a11 an1 ? ? ? ann D1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = (?1)n ?1 an1 ??? a11 ? ? ? a1n a21 a11 a21 n ?1 n ?2 = (?1) (?1) an1 ??? a31 ??? ??? ??? ??? ??? a1n ann ??? a2na1n a2n ann = ? ? ? ??? a3nn(n ?1) 2= (?1)1+ 2+? ? ?+(n ?2)+(n?1) D = (?1)D.同理可證D2 = (?1)n(n ?1) 2a11 ? ? ? an1 n(n ?1) n(n ?1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? = (?1) 2 DT = (?1) 2 D . a1n ? ? ? ann成都大學(xué)詩葉子制作9工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集D3 = (?1)n(n ?1) 2D2 = (?1)n(n ?1) 2(?1)n(n ?1) 2D = (?1)n(n?1) D = D .7. 計算下列各行列式(Dk 為 k 階行列式): (1) Dn =a 1 ?? 1 ? a , 其中對角線上元素都是 a, 未寫出的元素都是 0。 (c + 3)2 (d + 3)2 (a + 3)2 (b + 3)2 (c ?c , c ?c , c ?c 得) (c + 3)2 4 3 3 2 2 1 (d + 3)2a2 b2 (3) 2 c d2證明a2 b2 c2 d2 (a +1)2 (b +1)2 (c +1)2 (d +1)2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2a2 2 = b2 c d2 a2 2 = b2 c d21 a (4) a 2 a4 1 b b2 b42a +1 2b +1 2c +1 2d +1 2a +1 2b +1 2c +1 2d +11 c c2 c4 1 d d2 d42a + 3 2b + 3 2c + 3 2d + 3 2 2 2 22a + 5 2b + 5 (c ?c , c ?c 得) 2c + 5 4 3 3 2 2d + 52 2 =0 . 2 2=(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a+b+c+d)。 1 1 1證明成都大學(xué)詩葉子制作5工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集a2 ab b2 c2 ? c1 a2 ab ? a2 b2 ? a2 2a a + b 2b ===== 2a b ? a 2b ? 2a 0 0 1 1 1 c3 ? c1 1= (?1)3+1 ab ? a b?a2b2 ? a2 = (b ? a)(b ? a) a b + a =(a?b)3 . 1 2 2b ? 2aax + by ay + bz az + bx x y z 3 3 (2) ay + bz az + bx ax + by = (a + b ) y z x 。 2 2 4 2 3 6 1 c4 ? c2 2 1 ===== 3 2 1 2 5 1 ?1 2 0 4 2 3 6 0 r4 ? r2 2 2 ===== 3 1 0 2 2解1 ?1 2 01 ?1 2 14 2 3 40 2 0 0r4 ? r1 2 3 ===== 1 01 ?1 2 04 2 3 00 2 0 =0 . 0成都大學(xué)詩葉子制作4工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集? ab ac ae (3) bd ? cd de 。成都大學(xué)詩葉子制作2工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集解 逆序數(shù)為 3 2 (1 個) 5 2, 5 4(2 個) 7 2, 7 4, 7 6(3 個) ?????? (2n?1)2, (2n?1)4, (2n?1)6, ? ? ?, (2n?1)(2n?2) (n?1 個) (6)1 3 ? ? ? (2n?1) (2n) (2n?2) ? ? ? 2. 解 逆序數(shù)為 n(n?1) : 3 2(1 個) 5 2, 5 4 (2 個) ?????? (2n?1)2, (2n?1)4, (2n?1)6, ? ? ?, (2n?1)(2n?2) (n?1 個) 4 2(1 個) 6 2, 6 4(2 個) ?????? (2n)2, (2n)4, (2n)6, ? ? ?, (2n)(2n?2) (n?1 個) 3. 寫出四階行列式中含有因子 a11a23 的項. 解 含因子 a11a23 的項的一般形式為 (?1)ta11a23a3ra4s,n(n ?1) : 2成都大學(xué)詩葉子制作3工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集其中 rs 是 2 和 4 構(gòu)成的排列, 這種排列共有兩個, 即 24 和 42. 所以含因子 a11a23 的項分別是 (?1)ta11a23a32a44=(?1)1a11a23a32a44=?a11a23a32a44, (?1)ta11a23a34a42=(?1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 計算下列各行列式:4 1 (1) 10 0 1 2 5 1 2 0 2 1 4 2。 (4)2 4 1 3。 解 解 解 解 逆序數(shù)為 0 逆序數(shù)為 4: 41, 43, 42, 32. 逆序數(shù)為 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. 逆序數(shù)為 3: 2 1,