【正文】 (2)求 A的非零特征值及 n個線性無關(guān)的特征向量 解 設(shè) 1?aTa 2? ? ? ? ? n?0 因為 Aa?aaTa?(aTa)a? 1a 所以 p1?a是對應(yīng)于 1?aTa的特征向量 對于 2? ? ? ? ? n?0 解方程 Ax?0 即 aaTx?0 因為 a?0 所以aTx?0 即 a1x1?a2x2? ? ? ? ?anxn?0 其線性無關(guān)解為 p2?(?a2 a1 0 ? ? ? 0)T p3?(?a3 0 a1 ? ? ? 0)T ? ? ? 78 pn?(?an 0 0 ? ? ? a1)T 因此 n個線性無關(guān)特征向量構(gòu)成的矩陣為 ?????????????????????????????????????112212100), , ,(aaaaaaannnppp 22 設(shè) ???????? ??340 430241A 求 A100 解 由 )5)(5)(1(340 430241|| ??????????? ??????? EA 得 A的特征值為 1?1 2?5 3??5 對 于 1?1 解方程 (A?E)x?0 得特征向量 p1?(1 0 0)T 對于 1?5 解方程 (A?5E)x?0 得特征向量 p2?(2 1 2)T 對于 1??5 解方程 (A?5E)x?0 得特征向量 p3?(1 ?2 1)T 令 P?(p1 p2 p3) 則 P?1AP?diag(1 5 ?5)?? A?P?P?1 A100?P?100P?1 因為 ?100?diag(1 5100 5100) ??????????????????? ?? ??120 21050551120 210121 11P 所以 ?????????????????????????? ??120 210505551120 21012151 1 0 01 0 01 0 0A ???????? ??100100100500 0501501 23 在某國 每年有比例為 p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn) 有比例為 q的城鎮(zhèn) 79 居民移居農(nóng)村 假設(shè)該國總?cè)丝跀?shù)不變 且上述人口遷移的規(guī)律也不變 把n年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖?xn和 yn(xn?yn?1) (1)求關(guān)系式 ????????????? ?? nnnn yxAyx 11中的矩陣 A 解 由題意知 xn?1?xn?qyn?pxn?(1?p)xn?qyn yn?1?yn?pxn?qyn? pxn?(1?q)yn 可用矩陣表示為 ???????????? ????????? ?? nnnn yxqp qpyx 1111 因此 ?????? ??? qp qpA 11 (2)設(shè)目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等 即 ????????????? 求 ??????nnyx 解 由 ????????????? ?? nnnn yxAyx 11可知 ????????????? 00yxAyx nnn 由 )1)(1(11|| qpqp qpEA ??????????? ????? 得 A的特征值為 1?1 2?r 其中 r?1?p?q 對于 1?1 解方程 (A?E)x?0 得特征向量 p1?(q p)T 對于 1?r 解方程 (A?rE)x?0 得特征向量 p2?(?1 1)T 令 ?????? ??? 11) ,(21 pqP pp 則 P?1AP?diag(1 r)?? A?P?P?1 An?P?nP?1 于是 1110 0111 ??????? ????????????? ?? pqrpqA nn ??????????????????? ??? qprpqqpn 110 01111 ?????? ?? ???? nnnn qrpprp qrqprqqp 1 80 ???????????? ?? ?????????? nnnnnn qrpprp qrqprqqpyx ?????? ?? ???? nnrpqp rqpqqp )(2 )(2)(2 1 24? (1)設(shè) ??????? ?? 32 23A ? 求 (A)?A10?5A9 解 由 )5)(1(32 23|| ????? ???? ????? EA 得 A的特征值為 1?1 2?5 對于 1?1 解方程 (A?E)x?0 得單位特征向量 T)1 ,1(21 對于 1?5 解方程 (A?5E)x?0 得單位特征向量 T)1 ,1(21 ? 于是有正交矩陣 ?????? ?? 11 1121P 使得 P?1AP?diag(1 5)?? 從而 A?P?P?1 Ak?P?kP?1 因此 (A)?P (?)P?1?P(?10?5?9)P?1 ?P[diag(1 510)?5diag(1 59)]P?1 ?Pdiag(?4 0)P?1 ???????????????????? ?? 11 112100 0411 1121 ?????????????? ?? ??? 11 11222 22 ? (2)設(shè) ?????????122 221212A , 求 (A)?A10?6A9?5A8 解 求得正交矩陣為 ??????????? ??? 202 231 23161P 使得 P?1AP?diag(?1 1 5)?? A?P?P?1 于是 (A)?P (?)P?1?P(?10?6?9?5?8)P?1 81 ?P[?8(??E)(??5E)]P?1 ?Pdiag(1 1 58)diag(?2 0 4)diag(?6 ?4 0)P?1 ?Pdiag(12 0 0)P?1 ???????? ? ????????????????????? ??? 222 033 2110012202 231 23161 ?????????? ???422 2112112 ? 25? 用矩陣記號表示下列二次型 : (1) f?x2?4xy?4y2?2xz?z2?4yz 解 ?????????????????zyxzyxf121 242121) , ,( ? (2) f?x2?y2?7z2?2xy?4xz?4yz 解 ??????????????????? ?????zyxzyxf722 211211) , ,( ? (3) f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x3?4x2x4 解 ???????????????????????????432143211021013223111211) , , ,(xxxxxxxxf ? 26 寫出下列二次型的矩陣 (1) xxx ????