【正文】 43AB ??????? 83 21BA 所以 AB?BA (2)(A?B)2?A2?2AB?B2嗎 ? 解 (A?B)2?A2?2AB?B2 因?yàn)????????? 52 22BA ?????????????? 52 2252 22)( 2BA ??????? 2914 148 但 ??????????????????????? 43 01128 86114 832 22 BABA ??????? 2715 1610 所以 (A?B)2?A2?2AB?B2 (3)(A?B)(A?B)?A2?B2嗎 ? 解 (A?B)(A?B)?A2?B2 因?yàn)????????? 52 22BA ???????? 10 20BA ?????????????????????? 90 6010 2052 22))(( BABA 而 ?????????????????????? 71 8243 01114 8322 BA 故 (A?B)(A?B)?A2?B2 6? 舉反列說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的 ? (1)若 A2?0 則 A?0? 解 取 ??????? 00 10A 則 A2?0 但 A?0 (2)若 A2?A? 則 A?0 或 A?E? 解 取 ??????? 00 11A 則 A2?A? 但 A?0 且 A?E (3)若 AX?AY? 且 A 0? 則 X?Y ? 解 取 ??????? 00 01A ???????? 11 11X ??????? 10 11Y 則 AX?AY? 且 A 0? 但 X?Y ? 7? 設(shè) ??????? 101?A ? 求 A2 A3 ? ? ? Ak 解 ???????????????????? 12 011011012 ???A ????????????????????? 13 0110112 0123 ???AAA ? ? ? ? ? ? ??????? 101?kAk 8? 設(shè) ????????????00 1001A ? 求 Ak ? 解 首先觀察 ???????????????????????00 100100 10012A?????????22200 2012????? ???????????323232300 3033??????AAA ???????????4342343400 4064??????AAA ???????????5453454500 50105??????AAA ? ? ? ? ? ? ??????kAkkkkkkkkkk??????000 2)1(121??? ?????? 用數(shù)學(xué)歸納法證明 ? 當(dāng) k?2 時(shí) ? 顯然成立 ? 假設(shè) k 時(shí)成立，則 k?1 時(shí)， ???????????????????? ???? ?????????????0010010002)1(1211kkkkkkkk kkkkAAA ??????????????????????11111100)1(02)1()1(kkkkkkkkkk?????? 由數(shù)學(xué)歸納法原理知 ? ???????????? ?? ???kkkkkkk kkkkA??????0002)1(121 9? 設(shè) A B 為 n 階矩陣，且 A 為對(duì)稱矩陣，證明 BTAB 也是對(duì)稱矩陣 ? 證明 因?yàn)?AT?A 所以 (BTAB)T?BT(BTA)T?BTATB?BTAB 從而 BTAB 是對(duì)稱矩陣 ? 10? 設(shè) A B 都是 n 階對(duì)稱矩陣，證明 AB 是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是 AB?BA 證明 充分性 ? 因?yàn)?AT?A BT?B 且 AB?BA 所以 (AB)T?(BA)T?ATBT?AB 即 AB 是對(duì)稱矩陣 ? 必要性 ? 因?yàn)?AT?A BT?B 且 (AB)T?AB 所以 AB?(AB)T?BTAT?BA 11? 求下列矩陣的逆矩陣 ? (1) ?????? 5221 ? 解 ??????? 5221A ? |A|?1? 故 A?1存在 ? 因?yàn)? ??????? ????????? 12 25* 2212 2111 AA AAA? 故 *||11 AAA ?? ??????? ?? 12 25 ? (2) ?????? ? ?? ?? cossin sincos ? 解 ?????? ?? ?? ?? c oss i n s i nc osA ? |A|?1?0? 故 A?1存在 ? 因?yàn)? ?????? ????????? ?? ?? c oss in s inc os*22122111 AA AAA ? 所以 *||11 AAA ?? ???????? ?? ?? cossin sincos ? (3) ????????? ??145 243121 ? 解 ????????? ???145 243121A ? |A|?2?0? 故 A?1存在 ? 因?yàn)? ?????????? ?????????????21432 1613024*332313322212312111AAA AAAAAAA ? 所以 *||11 AAA ??????????????????1716 213213 012 ? (4)??????????naaa?0021(a1a2? ? ?an ?0) ? 解 ???????????naaaA ?0021? 由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知 ??????????????????naaaA10011211?? 12? 解下列矩陣方程 ? (1) ?????? ???????? 12 6431 52 X ? 解 ?????? ???????? ? 12 6431 52 1X ?????? ???????? ?? 12 6421 53 ?????? ?? 80 232 (2) ?????? ????????????234 311111 012112X ? 解 1111 012112234 311???????????????????X ????????? ???????? ??033 232101234 31131 ???????? ????32538122 (3) ?????? ???????????????? 10 1311 0221 41 X ? 解 11 11 0210 1321 41 ?? ????????????? ?????????X ???????????? ??????? ?? 21 0110 1311 42121 ????????????? 21 0103 66121 ????????? 04111 (4) ????????? ???????????????????021 102341010 100001100 001010 X ? 解 11010 100001021 102341100 001010 ??????????????????? ???????????X ????????????????? ???????????010 100001021 102341100 001010????????????201 431012 13? 利用逆矩陣解下列線性方程組 ? (1)???????? ??????353 2522132321321321xxx xxxxxx 解 方程組可表示為 ?????????????????????????321153 522321321xxx 故 ?????????????????????????????????? ?001321153 522321 1321xxx 從而有 ????????001321xxx (2)???????? ??????0523 1322321321321xxx xxxxxx 解 方程組可表示為 ??????????????????????????????012523 312111321xxx 故 ??????????????????????????????????????? ?305012523 312111 1321xxx 故有 ????????305321xxx 14? 設(shè) Ak?O (k 為正整數(shù) )? 證明 (E?A)?1?E?A?A2?? ? ??Ak?1 證明 因?yàn)?Ak?O 所以 E?Ak?E 又因?yàn)? E?Ak?(E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1) 所以 (E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1)?E 由定理 2 推論知 (E?A)可逆 且 (E?A)?1?E?A?A2?? ? ??Ak?1 證明 一方面 有 E?(E?A)?1(E?A) 另一方面 由 Ak?O 有 E?(E?A)?(A?A2)?A2?? ? ??Ak?1?(Ak?1?Ak) ?(E?A?A2?? ? ??A k?1)(E?A) 故 (E?A)?1(E?A)?(E?A?A2?? ? ??Ak?1)(E?A) 兩端同時(shí)右乘 (E?A)?1 就有 (E?A)?1(E?A)?E?A?A2?? ? ??Ak?1 15? 設(shè)方陣 A 滿足 A2?A?2E?O? 證明 A 及 A?2E 都可逆 ? 并求 A?1及 (A?2E)?1? 證明 由 A2?A?2E?O 得 A2?A?2E? 即 A(A?E)?2E 或 EEAA ??? )(21 ? 由定理 2 推論知 A 可逆 且 )(211 EAA ???