【正文】 aaaD n0 0010 000 00 0000 0010 00??????????????????????????????????(按第 n 行展開 ) )1()1(10 000 00 00 00 0010 000)1(??????? ????????????????????? ????????nnnaaa)1()1(2 )1(?????????nnnaaa nnnnn aaa ???????????)2)(2(1 )1()1( ?an?an?2?an?2(a2?1)? (2)xaaaxa aaxDn ??? ??????????????? ???? 。 解 將第一行乘 (?1)分別加到其余各行 ? 得 axxaaxxa axxaaaaxD n?? ???????????????????? ?????????000 0 0 0 0 再將各列都加到第一列上 ? 得 axaxaxaaaanxD n? ?????????????????????????????0000 0 000 00 )1(?[x?(n?1)a](x?a)n?1? (3)1 11 1 )( )1()( )1(1111???????????????????????????????????naaanaaanaaaDnnnnnnn 。 解 根據(jù)第 6 題結(jié)果 有 nnnnnnnnnnaaanaaanaaaD)( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1????????????????????????????????????? 此行列式為范德蒙德行列式 ??????? ??????? 112)1(1 )]1()1[()1( jinnnn jaiaD ?????? ????112 )1( )]([)1(jinnn ji ????????????? ??????112 1 )1(2 )1( )()1()1(jinnnnn ji ????? ?? 11 )(jin ji? (4)nnnnndcdcbabaD????????????? 11112。 解 nnnnndcdcbabaD????????????? 11112(按第 1 行展開 ) nnnnnnddcdcbabaa000 011111111?????????????????? 0 0)1(1111111112cdcdcbababnnnnnnn??????????????????? 再按最后一行展開得遞推公式 D2n?andnD2n?2?bnD2n?2? 即 D2n?(andn?bn)D2n?2 于是 ?? ??ni iiiin DcbdaD 2 22 )(? 而 111111 112 cbdadc baD ??? 所以 ?? ??ni iiiin cbdaD 12 )( (5) D?det(aij)? 其中 aij?|i?j|。 解 aij?|i?j|? 0 4321 4 01233 10122 21011 3210)d e t (???????????????????????????????????????????nnnnnnnnaD ijn 0 4321 1 11111 11111 11111 1111 2132?????????????????????????????????????????????????????????nnnnrrrr 1 5242321 0 22210 02210 00210 0001 1213??????????????????????????????????????????????????????????nnnnncccc ?(?1)n?1(n?1)2n?2? (6)nnaaaD?????????????????????????1 11 1 111 1121, 其中 a1a2 ? ? ? an?0? 解 nnaaaD???? ?????????????????????1 11 1 111 1121 nnnnaaaaaaaaacccc?????????????????????????????????????????????????????10 0001 000 100 0100 0100 00 11332212132 11113121121110 00011 000 00 11000 01100 001 ???????????????????????????????????????????????????nnnaaaaaaaa ?????????????????????????????????????????????????niinnaaaaaaaa111113121121100 00010 000 00 10000 01000 001 )11)((121 ????ni in aaaa ? 8? 用克萊姆法則解下列方程組 ? (1)???????????????????????01123253224254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 解 因為 14211213 51324121 1111 ????? ??D 14211210 51324122 11151 ?????????D 28411203 51224121 11512 ????????D 42611013 52324221 15113 ???????D 1 4 20213 21322121 51114 ???????D 所以 111 ??DDx? 222 ?? DDx? 333 ?? DDx? 144 ??? DDx? (2)????????????????????150650650651655454343232121xxxxxxxxxxxxx 解 因為 6 6 551000 6510006510 0065100065??D 1 5 0 751001 6510006510 00650000611 ??D 114551010 651000650 00601000152 ???D 7 0 351100 6500006010 00051001653 ??D 3 9 551000 6010000510 00651010654 ???D 2 1 211000 0510006510 00651100655 ??D 所以 66515071?x ? 66511452 ??x ? 6657033?x ? 6653954 ??x ? 6652124?x ? 9? 問 ?? ?取何值時 ? 齊次線性方程組???????? ??????02 00321321321xxx xxxxxx??? 有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 ?????? ???121 1111D 令 D?0? 得 ??0 或 ??1 于是 當(dāng) ??0 或 ??1 時該齊次線性方程組有非零解 ? 10? 問 ?取何值時 ? 齊次線性方程組????????? ????????0)1( 0)3(2042)1(321321321xxx xxxxxx??? 有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 ??????????????????101 112431111 132421D ?(1??)3?(??3)?4(1??)?2(1??)(?3??) ?(1??)3?2(1??)2???3? 令 D?0? 得 ??0? ??2 或 ??3? 于是 當(dāng) ??0? ??2 或 ??3 時 ? 該齊次線性方程組有非零解 ? 第二章 矩陣及其運算 1? 已知線性變換 ? ???????? ??????321332123211323 5322yyyx yyyxyyyx 求從變量 x1 x2 x3到變量 y1 y2 y3的線性變換 ? 解 由已知 ? ?????????????????????????221321323 513122yyyxxx 故 ????????????????????????? ?3211221323 513122xxxyyy?????????????????????321423 736947yyy ???????? ???????321332123211423 736947xxxy xxxyxxxy 2? 已知兩個線性變換 ???????? ??????3213321231154 2322yyyx yyyxyyx ???????? ?????323312211323zzy zzyzzy 求從 z1