【正文】 取a1=e1=b1, a2=e2=b2, , am=em=bm, 其中e1, e2, , em為單位坐標(biāo)向量, 則上式成立, 而a1, a2, , am和b1, b2, , bm均線性無關(guān). (3)若只有當(dāng)l1, l2, , lm全為0時(shí), 等式l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm=0才能成立, 則a1, a2, , am線性無關(guān), b1, b2, , bm亦線性無關(guān). 解 由于只有當(dāng)l1, l2, , lm全為0時(shí), 等式由l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm =0成立, 所以只有當(dāng)l1, l2, , lm全為0時(shí), 等式l1(a1+b1)+l2(a2+b2)+ +lm(am+bm)=0成立. 因此a1+b1, a2+b2, , am+bm線性無關(guān). 取a1=a2= =am=0, 取b1, , bm為線性無關(guān)組, 則它們滿足以上條件, 但a1, a2, , am線性相關(guān). (4)若a1, a2, , am線性相關(guān), b1, b2, , bm亦線性相關(guān), 則有不全為0的數(shù), l1, l2, , lm使l1a1+ +lmam=0, l1b1+ +lmbm=0同時(shí)成立. 解 a1=(1, 0)T, a2=(2, 0)T, b1=(0, 3)T, b2=(0, 4)T, l1a1+l2a2 =0222。 (2) a4不能由a1, a2, a3線性表示. 證明 (1)由R(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4線性無關(guān), 故a2, a3也線性無關(guān). 又由R(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3線性相關(guān), 故a1能由a2, a3線性表示. (2)假如a4能由a1, a2, a3線性表示, 則因?yàn)閍1能由a2, a3線性表示, 故a4能由a2, a3線性表示, 從而a2, a3, a4線性相關(guān), 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3線性表示. 6. 判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān): (1) (1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T。2, 又R(A)163。R(B, A), 所以A組不能由B組線性表示. 4. 已知向量組 A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T。10)T =(0, 1, 2)T. 2. 設(shè)3(a1a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求a, 其中a1=(2, 5, 1, 3)T, a2=(10, 1, 5, 10)T, a3=(4, 1, 1, 1)T. 解 由3(a1a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得 =(1, 2, 3, 4)T. 3. 已知向量組 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T。14, 3180。03, 3180。n矩陣, 證明: 若AX=AY, 且R(A)=n, 則X=Y. 證明 由AX=AY, 得A(XY)=O. 因?yàn)镽(A)=n, 由定理9, 方程A(XY)=O只有零解, 即XY=O, 也就是X=Y.第四章　向量組的線性相關(guān)性 1. 設(shè)v1=(1, 1, 0)T, v2=(0, 1, 1)T, v3=(3, 4, 0)T, 求v1v2及3v1+2v2v3. 解 v1v2=(1, 1, 0)T(0, 1, 1)T =(10, 11, 01)T =(1, 0, 1)T. 3v1+2v2v3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T (3, 4, 0)T =(3180。n矩陣, 證明 (1)方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=m。R(A)=R(abT)163。0, 所以當(dāng)l=10時(shí), 方程組無解. 要使方程組有無窮多解, 必須R(A)=R(B)3, 即必須 (1l)(10l)=0且(1l)(4l)=0, 所以當(dāng)l=1時(shí), ，增廣矩陣為 B~,方程組的解為 ,或 (k1, k2為任意常數(shù)). 18. 證明R(A)=1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bT, 使A=abT. 證明 必要性. 由R(A)=1知A的標(biāo)準(zhǔn)形為 , 即存在可逆矩陣P和Q, 使 , 或. 令, bT=(1, 0, , 0)Q1, 則a是非零列向量, bT是非零行向量, 且A=abT. 充分性. 因?yàn)閍與bT是都是非零向量, 所以A是非零矩陣, 從而R(A)179。1且l185。0. 因此l=2時(shí), 方程組無解. (3)要使方程組有有無窮多個(gè)解, 必須R(A)=R(B)3, 故 (1l)(2+l)=0, (1l)(l+1)2=0. 因此當(dāng)l=1時(shí), 方程組有無窮多個(gè)解. 16. 非齊次線性方程組當(dāng)l取何值時(shí)有解？并求出它的解. 解　~. 要使方程組有解, 必須(1l)(l+2)=0, 即l=1, l=2. 當(dāng)l=1時(shí), ~, 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)). 當(dāng)l=2時(shí), ~, 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)). 17. 設(shè). 問l為何值時(shí), 此方程組有唯一解、無解或有無窮多解? 并在有無窮多解時(shí)求解. 解 B= ~. 要使方程組有唯一解, 必須R(A)=R(B)=3, 即必須 (1l)(10l)185。1且l185。 (2)無解。 解 對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=~, 于是 , 即 (k為任意常數(shù)). (3)。 解 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 . (4). 解 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)). 13. 求解下列非齊次線性方程組: (1)。 解　對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 (k為任意常數(shù)). (2)。1且k185。1時(shí), R(A)=2。 (3)R(A)=3. 解 . (1)當(dāng)k=1時(shí), R(A)=1。n矩陣, 證明A~B的充分必要條件是R(A)=R(B). 證明 根據(jù)定理3, 必要性是成立的. 充分性. 設(shè)R(A)=R(B), 則A與B的標(biāo)準(zhǔn)形是相同的. 設(shè)A與B的標(biāo)準(zhǔn)形為D, 則有A~D, D~B.由等價(jià)關(guān)系的傳遞性, 有A~B. 11. 設(shè), 問k為何值, 可使 (1)R(A)=1。 解 (下一步: r1r2, r22r1, r37r1. ) ~(下一步: r33r2. ) ~, 矩陣的秩是2, 是一個(gè)最高階非零子式. (3). 解 (下一步: r12r4, r22r4, r33r4. ) ~(下一步: r2+3r1, r3+2r1. ) ~(下一步: r2184。 解 (下一步: r1171。 解 因?yàn)? , 所以 . (2)設(shè), , 求X使XA=B. 解 考慮ATXT=BT. 因?yàn)? , 所以 , 從而 . 5. 設(shè), AX =2X+A, 求X. 解 原方程化為(A2E)X =A. 因?yàn)? , 所以 . 6. 在秩是r 的矩陣中,有沒有等于0的r1階子式? 有沒有等于0的r階子式? 解 在秩是r的矩陣中, 可能存在等于0的r1階子式, 也可能存在等于0的r階子式. 例如, , R(A)=3. 是等于0的2階子式, 是等于0的3階子式. 7. 從矩陣A中劃去一行得到矩陣B, 問A, B的秩的關(guān)系怎樣? 解 R(A)179。(1), r4r3. ) ~(下一步: r2+r3. ) ~. 2. 設(shè), 求A. 解 是初等矩陣E(1, 2), 其逆矩陣就是其本身. 是初等矩陣E(1, 2(1)), 其逆矩陣是 E(1, 2(1)) . . 3. 試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q, 求下列方陣的逆矩陣: (1)。(5). ) ~(下一步: r13r2, r3r2, r4r2. ) ~. (4). 解 (下一步: r12r2, r33r2, r42r2. ) ~(下一步: r2+2r1, r38r1, r47r1. ) ~(下一步: r1171。(4), r3184。2. ) ~. (3)。 解 (下一步: r2180。(2). ) ~(下一步: r3r2. ) ~(下一步: r3184。 解 (下一步: r2+(2)r1, r3+(3)r1. ) ~(下一步: r2184。, 所以 . 30. 求下列矩陣的逆陣: (1)。 解 設(shè), 則 . 由此得 222。0, 則|A*|=|A|n1。0, 則有A*(A*)1=E, 由此得 A=A A*(A*)1=|A|E(A*)1=O , 所以A*=O, 這與|A*|185。0, 從而A*也可逆. 因?yàn)锳*=|A|A1, 所以 (A*)1=|A|1A. 又, 所以 (A*)1=|A|1A=|A|1|A|(A1)*=(A1)*. 18. 設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*, 證明: (1)若|A|=0, 則|A*|=0。 (A+2E)(A3E)=4 E, 所以 (A+2E)1(A+2E)(A3E)=4(A+2 E)1, . 16. 設(shè)A為3階矩陣, , 求|(2A)15A*|. 解 因?yàn)? 所以 =|2A1|=(2)3|A1|=8|A|1=8180。, 又由 A2A2E=O222。A(AE)=2E 222。0, 所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|2185。 解 . (4). 解 . 13. 利用逆矩陣解下列線性方程組: (1)。 解 . (2)。0, 故A1存在. 因?yàn)? , 所以 . (4)(a1a2 an 185。0, 故A1存在. 因?yàn)? , 所以 . (3)。 解 . |A|=1, 故A1存在. 因?yàn)? , 故 . (2)。0, 但X185。E. (3)若AX=AY, 且A185。 解 取, 則A2=A, 但A185。 解 取, 則A2=0, 但A185。A2B2. 因?yàn)? , , 而 , 故(A+B)(AB)185。A2+2AB+B2. 因?yàn)? , 但 , 所以(A+B)2185。BA. 因?yàn)? , 所以AB185。 解 . (5)。1)=(10). (3)。3+2180。 解 . (2)。0. 解 . 8. 用克萊姆法則解下列方程組: (1)。 解 (按第1行展開) .