線性代數(shù)知識點總結(jié)-文庫吧資料
2025-07-04 21:00本頁面
【正文】 變換為形如的矩陣，稱為標(biāo)準(zhǔn)型。擴展 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換，初等變換的逆變換仍為初等變換, 且類型相同。增廣矩陣可以分塊表示為：第三章 矩陣的初等變換與線性方程組第一節(jié) 矩陣的初等變換初等行變換 。分塊對角陣（準(zhǔn)對角矩陣）設(shè)A為n階矩陣，若A的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方陣，即，則有：。乘法 首先AB有意義，其次A的列的分法與B的行的分法相同。數(shù)乘 。分塊的目的是為了簡化運算。（課本P46）注意 矩陣A的任意兩個多項式j(luò)(A)與f(A)可交換，即，矩陣A多項式可以像x的多項式一樣相乘或因式分解。即。，則A的逆矩陣是唯一的。第三節(jié) 逆矩陣定義 對于n階矩陣A，如果有一個n階矩陣B,使得AB＝BA＝E則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣。（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律。即反對稱矩陣A=（aij）中的元素滿足aij＝－aji，i，j=1，2，…n伴隨矩陣 行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣。運算性質(zhì)；；（課本P40）對稱陣 設(shè)A為n 階方陣，如果滿足A=AT ，即那么A稱為對稱陣。轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)；；；。且有，A為n階方陣時，有，表明純量陣與任何同階方陣都是可交換的。矩陣乘法的運算規(guī)律；，若A是n 階方陣，則稱 Ak為A的k次冪，即，并且。3。2。矩陣與矩陣相乘 設(shè)是一個矩陣，是一個矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個矩陣，其中，并把此乘積記作注意 1。（課本P33）數(shù)與矩陣相乘 數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律（設(shè)為矩陣，為數(shù)）；；。第二節(jié) 矩陣的運算矩陣的加法 設(shè)有兩個矩陣，那么矩陣與的和記作，規(guī)定為說明 只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算。記作：A＝B零矩陣：元素都是零的矩陣（不同型的零矩陣不同）對角陣：不在主對角線上的元素都是零。同型矩陣：兩矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等。行(列)矩陣：只有一行(列)的矩陣。擴展 幾種特殊的矩陣：方陣 ：行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A。簡稱矩陣，記作，簡記為。（即解唯一，只有零解）逆否定理 如齊次方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式D必為零。逆否定理 如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。（證明課本P53，第二章）注意 克拉默法則只適用于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的情形。（證明課本P16）定理 階行列式 等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即。代數(shù)余子式 ，叫做元素的代數(shù)余子式。說明 行列式中行與列具有同等的地位，行列式的6個性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立。性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．（證明課本P10）性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式；推論1 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到的外面。性質(zhì)2 互換行列式的兩行或列，行列式變號。性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。綜上有s=t。 將個奇排列的前兩個數(shù)對換，則這個奇排列全變成偶排列，并且它們彼此不同，所以。（證明課本P9）推論 設(shè)有n階行列式，則或或（行列式三種不同表示方法）推論 在全部階排列中，奇偶排列各占一半。推論 奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對
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