線性代數(shù)知識點總結(jié)-資料下載頁
2025-06-28 21:00本頁面
【正文】 量總被看作是兩個不同的向量；當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當(dāng)作列向量。行向量可看作是列向量的轉(zhuǎn)置。零向量 0=(0,0,…,0)T(維數(shù)不同, 零向量不同)負(fù)向量 。向量相等 設(shè)，若則。向量運算規(guī)律：①②③④⑤⑥⑦⑧滿足以上8條性質(zhì)的向量加法、數(shù)乘兩種運算,稱為線性運算。向量與矩陣的關(guān)系向量組 若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組。設(shè)矩陣A=(aij)mn有n個m維列向量，即。同理，也可說矩陣A有m個行向量組組成。另外，線性方程組的解也可以用一個向量來描述；線性方程組的解集合(通解)可以用一個向量組來描述。向量，向量組，矩陣與方程組的關(guān)系向量組矩陣：向量方程 方程組：，可簡寫作向量方程方程組矩陣形式線性組合 給定向量組和向量b，如果存在一組數(shù)使，則向量b是向量組A的線性組合，這時稱b向量能由向量組A線性表示。定義 給定向量組，對于任一組實數(shù)，向量稱為向量組的一個線性組合。 稱為這個線性組合的系數(shù)。定理1 向量b能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩。即R(A)=R(A,b)。定理2 向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩，即R（A）=R(A,B)。推論 向量組與向量組等價的充分必要條件是，其中A和B是向量組A和B所構(gòu)成的矩陣。（證明課本P84）定理3 設(shè)向量組能由向量組線性表示，則（易忘知識點）向量組的線性表示 設(shè)有兩個向量組，若B組中每個向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示，若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。擴展 向量組能由向量組線性表示第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān) 給定向量組，如果存在不全為零的數(shù)使，則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)；若當(dāng)且僅當(dāng)時上式成立，則稱向量組A線性無關(guān)。注意，不是線性無關(guān)，就是線性相關(guān)。，線性相關(guān)意味著兩向量的分量對應(yīng)成比例，幾何含義兩向量共線；三個向量線性相關(guān)意味著三向量共面。，此時總存在不為零的k，使得線性相關(guān)性的判定 定理 向量組（當(dāng)時）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個向量可由其余m1個向量線性表示定理4 向量組線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣小于向量的個數(shù)m，向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R（A）=m。最大線性無關(guān)向量組 設(shè)有向量組A，如果在A中能選出r個向量，滿足：；(2) 向量組A中任意r +1個向量(如果有的話)都線性相關(guān)；則稱向量組是向量組A的一個最大線性無關(guān)向量組。(2)* 向量組A中任何一個(其它)向量可由線性表示。定理 向量組與它的最大無關(guān)組等價，向量組的兩個最大無關(guān)組之間等價。定義 向量組的最大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為向量組的秩，記向量組的秩為RA，RA=R（）。矩陣A的秩＝非零子式的最高階數(shù)＝矩陣A行向量組的秩＝矩陣A列向量組的秩＝有效方程的個數(shù)第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)性1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學(xué)習(xí)
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