線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(參考版)
2025-07-01 21:00本頁(yè)面
【正文】 只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來了。有時(shí)候覺得自己像個(gè)神經(jīng)病。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無(wú)反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。矩陣A的秩＝非零子式的最高階數(shù)＝矩陣A行向量組的秩＝矩陣A列向量組的秩＝有效方程的個(gè)數(shù)第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)性1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。定理 向量組與它的最大無(wú)關(guān)組等價(jià)，向量組的兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組之間等價(jià)。最大線性無(wú)關(guān)向量組 設(shè)有向量組A，如果在A中能選出r個(gè)向量，滿足：；(2) 向量組A中任意r +1個(gè)向量(如果有的話)都線性相關(guān)；則稱向量組是向量組A的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組。，線性相關(guān)意味著兩向量的分量對(duì)應(yīng)成比例，幾何含義兩向量共線；三個(gè)向量線性相關(guān)意味著三向量共面。擴(kuò)展 向量組能由向量組線性表示第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān) 給定向量組，如果存在不全為零的數(shù)使，則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)；若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式成立，則稱向量組A線性無(wú)關(guān)。推論 向量組與向量組等價(jià)的充分必要條件是，其中A和B是向量組A和B所構(gòu)成的矩陣。即R(A)=R(A,b)。 稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。向量，向量組，矩陣與方程組的關(guān)系向量組矩陣：向量方程 方程組：，可簡(jiǎn)寫作向量方程方程組矩陣形式線性組合 給定向量組和向量b，如果存在一組數(shù)使，則向量b是向量組A的線性組合，這時(shí)稱b向量能由向量組A線性表示。設(shè)矩陣A=(aij)mn有n個(gè)m維列向量，即。向量運(yùn)算規(guī)律：①②③④⑤⑥⑦⑧滿足以上8條性質(zhì)的向量加法、數(shù)乘兩種運(yùn)算,稱為線性運(yùn)算。零向量 0=(0,0,…,0)T(維數(shù)不同, 零向量不同)負(fù)向量 。說明 1. 列向量即為列矩陣,行向量即為行矩陣2. 行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；3. 行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量；當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量。非齊次線性方程組解的通解具有形式 (c1, c2為任意常數(shù))，不帶參數(shù)部分是非齊次方程組的一個(gè)解；帶參數(shù)部分的兩個(gè)向量構(gòu)成對(duì)應(yīng)齊次方程的基礎(chǔ)解系。線性方程組的解法齊次線性方程組：將系數(shù)矩陣A化成行階梯形矩陣，判斷是否有非零解. 若有非零解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出其解；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有的向量個(gè)數(shù)為n－R(A)，齊次線性方程組的通解可以表成基礎(chǔ)解系的“線性組合”。（課本P71）第三節(jié) 線性方程組的解線性方程組如果有解，則稱其為相容的，否則稱為不相容的。矩陣Amn，經(jīng)過有限次初等行變換可變?yōu)樾须A梯形，則非零行的行數(shù)就是A的秩。矩陣秩的求法定理1 矩陣A經(jīng)過有限次行(列)初等變換后其秩不變。3. R(A)≥r的充分必要條件是至少有一個(gè)r 階子式不為零。數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A).規(guī)定零矩陣的秩，R(0)=0.說明 1. 矩陣Amn，則 R(A) ≤min{m,n}。或.第二節(jié) 矩陣的秩矩陣的秩 任何矩陣，總可以經(jīng)過有限次初等變換把它變?yōu)樾须A梯形，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的。（5）（課本P61—P63）初等變換的應(yīng)用（1）求逆矩陣：或。初等變換的性質(zhì)設(shè)A與B為mn矩陣，那么初等矩陣：由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣。行最簡(jiǎn)形矩陣：行階梯矩陣中非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為0.標(biāo)準(zhǔn)型：對(duì)行最簡(jiǎn)形矩陣再施以初等列變換，可以
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