【正文】 ，使得（1）；（2）；（3）．解 ，有當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．29．設(shè)是矩陣，且的秩為，而，求．解 ，則．30．設(shè)為階矩陣，滿足，證明：．證 由，得，所以.又，所以.31．設(shè)三階矩陣，試求與．解 ．因?yàn)椋?2．求解下列線性方程組：（1）解 方程組的系數(shù)矩陣．因?yàn)?，所以方程組只有零解．（2）解 方程組的增廣矩陣，所以方程組的解為．（3）解 方程組的系數(shù)矩陣，得方程組的解為令，得方程組的通解，其中為任意常數(shù)．（4）解 方程組的增廣矩陣．因?yàn)椋苑匠探M無(wú)解．（5）解 方程組的增廣矩陣，得方程組的解為令，得方程組的通解，其中為任意常數(shù)．（6）解 方程組的增廣矩陣，得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)．33．試問(wèn)取何值時(shí)，下列非齊次線性方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解．（1）解 方程組的系數(shù)行列式． 當(dāng)，即且時(shí)，方程組有唯一解． 當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以方程組無(wú)解． 當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以方程組有無(wú)窮多解．（2）解 方程組的系數(shù)行列式． 當(dāng)，即且時(shí)，方程組有唯一解． 當(dāng)時(shí)，．因?yàn)椋苑匠探M無(wú)解． 當(dāng)時(shí)，．因?yàn)椋苑匠探M有無(wú)窮多解．34．試問(wèn)取何值時(shí)，非齊次線性方程組有解，并求解．解 方程組的增廣矩陣． 當(dāng)時(shí)，有，則方程組有無(wú)窮多解，且解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)．35．求平面上三點(diǎn)共線的充分必要條件．解 設(shè)直線方程為．則 平面上三點(diǎn)共線有非零解 ，即．（B）1．選擇題：（1）設(shè)為階矩陣，以下結(jié)論正確的是（ ）．　　(A)若、是對(duì)稱(chēng)矩陣，則也是對(duì)稱(chēng)矩陣． (B)．　　(C)若，且可逆，則． (D)若與等價(jià)，則與相等．解 選（C）．（2）設(shè)和均為矩陣，則必有（ ）．(A)=+． (B)．(C)=． (D)．解 選（C）．（3）設(shè)為階矩陣，是的伴隨矩陣，為常數(shù)，則（ ）．　　(A)． (B)． (C)． (D)．解 由伴隨矩陣的定義，知選（C）．（4）設(shè)和均為階非零矩陣，且，則和的秩（ ）．(A)必有一個(gè)等于零． (B)一個(gè)等于，一個(gè)小于．(C)都等于． (D)都小于．解 由，得．又，知．所以，故選（D）．（5）對(duì)于非齊次線性方程組，若，則（ ）．　　(A)當(dāng)時(shí)，有解．(B)當(dāng)時(shí)，有唯一解．(C)當(dāng)時(shí)，有唯一解．(D)當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多解．解 當(dāng)時(shí)，故選（A）．2．設(shè)矩陣，試求．解 ，則．3．設(shè)矩陣，且，試求．解 由，得．又，有，兩邊取行列式，得，所以．4．設(shè)矩陣，且，試求．解 ，則．5．設(shè)矩陣，試求．解 ，所以．6．設(shè)矩陣，矩陣滿足，試求矩陣．解 由，得．又，有．經(jīng)計(jì)算可得，所以．7．設(shè)矩陣，且矩陣滿足，試求矩陣．解 由，得．（注意）又，得方程組的解為令，得為任意常數(shù)．8．設(shè)階矩陣，試求的秩．解 ． 當(dāng)時(shí)，為非奇異矩陣，所以；當(dāng)時(shí)，則； 當(dāng)時(shí)，的階子式而，所以．9．試求取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解，并求通解．解 方程組的系數(shù)矩陣． 當(dāng)時(shí)，方程組有非零解，且，得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)．10．試求取何值時(shí)，非齊次線性方程組無(wú)解、有唯一解或無(wú)窮多解，并在有無(wú)窮多解時(shí)求方程組的通解．解 方程組的系數(shù)行列式． 當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解． 當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以方程組有無(wú)窮多解，且通解為，其中為任意常數(shù)． 當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解．11．設(shè)矩陣，為三階非零矩陣．試求常數(shù)，使得．解 有非零解．又，所以．12．證明：（1）設(shè)為矩陣，則有意義的充分必要條件是為同階矩陣．（2）對(duì)任意階矩陣，都有，其中為單位矩陣．證 （1）設(shè)為矩陣，為矩陣，則有意義，即為同階矩陣．（2）設(shè)，則的主對(duì)角線上元素之和為，而的主對(duì)角線上元素之和為，所以．13．證明：任意階矩陣都可表示為一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣與一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣的和．證 設(shè)為任意階矩陣，則，其中為對(duì)稱(chēng)矩陣，為反對(duì)稱(chēng)矩陣．（你是否能聯(lián)系到函數(shù)可以表示為奇函數(shù)與偶函數(shù)之和）14．已知階矩陣滿足，試證可逆，并求．證 由，得，所以可逆，且．15．設(shè)為元素全為1的階方陣，證明：．證 ．又，故，所以．16．設(shè)階矩陣與等價(jià)，且，證明．證 與等價(jià)，則存在階可逆矩陣與，使得，有． 注：此結(jié)論告訴我們初等變換不改變矩陣的可逆性．17．設(shè)為階方陣，且，證明．證 因?yàn)?，所以．又，所以?8．設(shè)是矩陣，是矩陣，其中．若，其中為階單位矩陣．證明方程組只有零解．證 由，得．又，得，所以方程組只有零解．習(xí) 題 四（A）1．設(shè)，求和．解 ，．2．求解下列向量方程：（1），其中．解 ．（2），其中．解 ．3．試問(wèn)向量可否由向量組線性表示？若能，求出由線性表示的表達(dá)式．（1）．解 設(shè)．由，得，所以可由向量組線性表示，且，得表達(dá)式．（2）．解 設(shè)．由，得，所以可由向量組線性表示，且，得表達(dá)式．4．討論下列向量組的線性相關(guān)性：（1）．解 向量組所含向量個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)，所以該向量組線性相關(guān)．（2），其中全不為零．解 對(duì)應(yīng)的分量成比例，則線性相關(guān)，所以該向量組線性相關(guān)．（3）， ，．解 ．因?yàn)椋栽撓蛄拷M線性無(wú)關(guān)．（4）．解 ．因?yàn)?，所以該向量組線性相關(guān)．5．（1）設(shè)，證明：線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)．（2）設(shè)，證明：線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)的分量成比例．證 （１）線性相關(guān)． （2）線性相關(guān)，其中不全為零．不妨設(shè)，則線性相關(guān)，即對(duì)應(yīng)的分量成比例．6．任取，又記，證明必線性相關(guān)．證 顯然，即，所以必線性相關(guān)．7．若向量組由向量組線性表示為試將向量組由向量組表示．解 由解得8．設(shè)為一組非零向量，按所給的順序，每一都不能由它前面的個(gè)向量線性表示，證明向量組線性無(wú)關(guān)．證 用數(shù)學(xué)歸納法證明．時(shí)，則線性無(wú)關(guān)．設(shè)時(shí)成立，即線性無(wú)關(guān)．當(dāng)時(shí)，若線性相關(guān)，則可由線性表示，矛盾，所以向量組線性無(wú)關(guān)．9．設(shè)非零向量可由向量組線性表示，證明：表示法唯一當(dāng)且僅當(dāng)向量組線性無(wú)關(guān)．證 可由向量組線性表示．則 表示法唯一有唯一解　　　　　　　 　　　　　線性無(wú)關(guān)．10．設(shè)，證明：向量組線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)任一維向量均可由線性表示．證 必要性：線性無(wú)關(guān)，任取，則線性相關(guān)，所以可由線性表示． 充分性：任一維向量均可由線性表示，則單位坐標(biāo)向量可由線性表示，有，所以，即線性無(wú)關(guān)．11．求下列各向量組的秩及其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示．（1）．解 ，所以，本身為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組；（2）．解 ，所以，為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且，．（3）．解 ，所以，為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且，．12． 設(shè)A：和B：為兩個(gè)同維向量組，秩分別為和；向量組的秩為．證明：．證 先證．顯然組與組分別可由組線性表示，則，且，所以． 次證．設(shè)為組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，為組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，則組可由線性表示，有．13．設(shè)為階可逆陣，與均為矩陣，且．試證明．證 由，知的列向量組可由的列向量組線性表示，則． 因?yàn)榭赡?，則，知的列向量組可由的列向量組線性表示，則．所以．14．設(shè)為矩陣，證明：當(dāng)且僅當(dāng)．證 必要性顯然，下證充分性：． 設(shè)為的任一列向量，則，所以．由的任意性知．15．設(shè)．（1）求由向量組生成的向量空間的一組基與維數(shù)；（2）求向量在此組基下的坐標(biāo)．解 由，得（1）為由向量組生成的向量空間的一組基，且維數(shù)為2；（2）向量在此組基下的坐標(biāo)為．16．設(shè)．證明向量組是的一組基，并求向量在這組基下的坐標(biāo)．證 由，得是的一組基，且在這組基下的坐標(biāo)為．17．在中取兩組基：；． （1）求由基到基的過(guò)渡矩陣． （2）若向量在基下的坐標(biāo)為，求向量在基下的坐標(biāo)．解 設(shè)．由 ，得（1）由基到基的過(guò)渡矩陣． （2）在基下的坐標(biāo)為．18．在中求一向量，使其在下面兩組基：；下有相同的坐標(biāo)．解 由，得，即． 令．由，得取，得．19．求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系及通解．（1）解 由，得令，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為，其中為任意常數(shù)．（2）解 由，得令，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為，其中為任意常數(shù)．（3）解 由，得令，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為，其中為任意常數(shù)．（4）解 由，得令，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為，其中為任意常數(shù)．20． 判斷下列非齊次線性方程組是否有解，若有解，并求其解（在有無(wú)窮多解的情況下，用基礎(chǔ)解系表示全部解）．（1）解 方程組的增廣矩陣．因?yàn)?，所以方程組有唯一解，且解為．（2）解 方程組的增廣矩陣，因?yàn)椋苑匠探M有無(wú)窮多解，且令，得通解為其中為任意常數(shù)．　 （3）解 方