【正文】 陣能與對角陣相似的充分必要條件及其相應的等式解 因為，令 有 同理，取，有，故故取 ，則. :設2．向量的長度3．單位化向量4．正交向量組的定義及其性質定義 如果一個向量組不含零向量，且其中任意兩個向量都正交（簡稱兩兩正交），則稱該向量組為正交向量組.主要性質 正交向量組必線性無關5施密特正交化手續(xù)例18已知3維向量則內積____________.測試點 內積的定義解 答案 例19 求一個單位向量使得與都正交.解 設與都正交,則 可取,單位化得即為所求.例20利用施密特正交化方法，將下列向量組化為正交的單位向量組: ， .測試點 施密特正交化手續(xù) 解 取則為所求的單位正交向量組.驗算 6. 正交矩陣1）正交矩陣的定義；如果階方陣滿足，則稱它為正交陣2）正交矩陣的性質：設方陣為正交陣，則必可逆，且；如果都是階正交陣，則也是正交陣；是正交陣的充分必要條件是的列（行）向量組構成的標準正交基.四．實對稱矩陣的相似標準形 1．實對稱矩陣的特征值都是實數；2．實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交；3．實對稱矩陣必能與對角陣相似，且存在正交陣，使得為對角形.4．任給實對稱陣，如何求出正交陣，使得為對角形.例21設3階實對稱矩陣的特征值為，則秩=（　　　）A． B．C． D．測試點 。(2)設為矩陣的一個特征值,則為矩陣的特征值。5）設是矩陣屬于特征值的特征向量，則是矩陣屬于特征值的特征向量，其中.6)，且是矩陣的特征值.3．特征值、特征向量的求法例5設階矩陣有一個特征值為,對于階單位矩陣,矩陣必有一個特征值為 .解 ,則,因為有一個特征值為,故必有一個特征值為例6設為n階可逆矩陣，已知有一個特征值為，則必有一個特征值為_____________.測試點 若 為可逆矩陣的一個特征值，則為矩陣的特征值.解 因為有一個特征值為，故有一個特征值為,所以必有一個特征值為.答案 .例7 已知是n階矩陣，且滿足方程,證明的特征值只能是或.測試點 設為的特征值，.證 設為的特征值，則必為的特征值，又因為，故，二、相似矩陣 設都是階方陣，如果存在可逆陣使得，則稱與相似.2. 相似矩陣的性質1)反身性，對稱性，傳遞性；2）若方陣與相似，則與有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）進而，且,其中表示矩陣的跡，即,為方陣的n個特征值；注意：反之，若與有相同的特征值，與不一定相似；例如有相同的特征值，但與不相似.例8 設3階矩陣與相似,且已知的特征值為則矩陣的跡 【 】A. 3 B. 2 測試點1. 相似矩陣的特征值相同。當 即 時方程組有惟一解。 解 當時,故方程組無解.答案 .例10 如果非齊次線性方程組有解,則它有惟一解的充分必要條件是其導出組 .解 非齊次線性方程組有惟一解的充分必要條件是未知數的個數，而它恰是其導出組只有零解,沒有非零解的充要條件.答案 只有零解. 其中是方程的一個特解，為系數矩陣的秩，為它的導出組（與它對應的）齊次方程組的基礎解系.例10設3元非齊次線性方程組的兩個解為，且系數矩陣的秩，則對于任意常數 方程組的通解可表為（　　?。? 測試點 。向量組線性相關性的判別解 顯然A,B,C選項中的三個向量都是線性相關的,而齊次方程組的基礎解系應由線性無關的向量組組成.答案 D 3）齊次方程組的通解公式 如果是基礎解系，則它的通解為 ，其中為任意數.例6求齊次線性方程組 的基礎解系及通解.測試點 求齊次方程組的基礎解系和通解的方法解 取為約束未知數,為自由未知數,取為該齊次方程組的基礎解系,該齊次方程組的通解為 為任意數)三．非齊次方程組 1．非齊次方程組解的性質1）設都是的解，則是它的導出組的解.2）設都是的解，則當時，也是的解.3）設是的一個解，是它的導出組的解,則是的解.例7已知是3元非齊次線性方程組的兩個解向量，則對應齊次線性方程組有一個非零解向量__________________.測試點 線性非齊次方程組解的性質 解 答案 例8設齊次線性方程有解，而非齊次線性方程且有解,則是方程組_____________的解。求法)解 因為齊次方程組的系數矩陣為的秩為,未知數的個數為,所以其基礎解系含個解.答案 例5已知是齊次方程組的一個基礎解系,則此方程組的基礎解系還可以選用A. B.D. 與等價的向量組測試點 特別是若齊次方程組的一個基礎解系含4個解,則它的任意4個線性無關的解都是它的基礎解系。2根據系數矩陣的階數,確定方程的個數和未知數的個數.解析 線性方程組的系數矩陣的行數等于方程的個數，列數等于未知數的個數因為是43矩陣，故方程組的未知數的個數，故方程組只有零解的充要條件是系數矩陣的秩答案 ,則 .解析 有非零解而 故因為有非零解，則或答案 或 2. 齊次方程組解的結構1）齊次方程組解的性質設都是的解，則也是的解(C1，C2為任意常數)2）齊次方程組的基礎解系的概念：（1）線性無關；（2）的任何一個解都可以表示為的線性組合，則稱為該齊次方程組的基礎解系.如果齊次方程組有非零解（即），則它有基礎解系.重要結論:齊次方程組的基礎解系含個線性無關的解；齊次方程組的任意個線性無關的解都構成該齊次方程組的基礎解系；3）齊次方程組的基礎解系的求法例4 3元齊次方程組的基礎解系所含解向量的個數為 .測試點 齊次方程組的基礎解系 (定義。答案 例11設是一個4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為（ ）A．1 B．2C．3 D．4測試點 （1）向量組的秩的概念；（2）向量由向量組線性表示的概念 （3）向量組線性相關和線性無關的概念解 因為可以表為的線性組合，且表示法惟一，必有線性無關,因為設，由可以表為的線性組合，即故 由表示法惟一，有 于是有，故線性無關，又可以表為的線性組合，所以為向量組的一個極大無關組，故向量組的秩為3.答案 C例12設向量組（1）求向量組的秩和一個極大線性無關組；（2）將其余向量表為該極大線性無關組的線性組合.測試點 求向量組的極大無關組,并將其余向量由該極大無關組線性表示的的方法解 所以 原向量組的秩為， 為所求的極大無關組.四、子空間的定義，基、維數、向量在一組基下的坐標 1. 維向量空間的定義：維實向量的全體構成的集合稱為維向量空間，記為.2. 子空間的定義：設是的一個非空子集，且滿足對加法運算和數乘運算封閉，則稱是的一個子空間,簡稱為向量空間.：設則由它們的所有線性組合構成的一個子空間，稱它為由生成的子空間.例13 設，說明哪個是子空間，那個不是.解析 在中，任取為任意數，都有所以是子空間.類似地，可以證明也是子空間.但對，取都屬于而這表明對加法運算不封閉，故不是子空間. 4. 向量空間的基和維數的定義向量空間的一個向量組線性無關，且中每個向量都能由它線性表示，定義它為0維，否則，稱為在這組基下的坐標.例14向量空間為實數}的維數為_______________.測試點 向量空間維數的概念解 容易看出 是的一個基?；蛘w無關,則部分無關)3) 若向量組線性無關,則接長向量組 必線性無關.3．判斷向量組線性相關性的方法1)一個向量線性相關； 2)含有零向量的向量組必線性相關；3)向量個數＝向量維數時，n維向量組線性相關. 4)向量個數向量維數時, 向量組必線性相關；5)部分相關，則整體必相關；（整體無關，則部分必無關）.6)若向量組線性無關，則其接長向量組必線性無關；7)向量組線性無關向量組的秩＝所含向量的個數，向量組線性相關向量組的秩所含向量的個數。 證 設 因為 則 即 因為線性無關,故,所以只能.這表明若,知也線性無關,則可能的取值應滿足 .測試點 個維向量線性無關相應的行列式。必要條件。組合系數的求法解 考慮 該線性方程組的增廣矩陣所以 答案 (驗算!)二、維向量組的線性相關性1．向量組的線性相關性的定義和充分必要條件：1）定義: ，使得,則稱向量組線性相關，否則，即如果，必有，則稱向量組線性無關.2) .例3設向量組線性相關，則必可推出（　　　）A．中至少有一個向量為零向量B．中至少有兩個向量成比例C．中至少有一個向量可以表示為其余向量的線性組合D．中每一個向量都可以表示為其余向量的線性組合測試點 向量組線性相關的概念答案 C例4向量組線性無關的充分條件是A. 都不是零向量B. 中任意兩個向量都不成比例C. 中任意一個向量都不能表為其余向量的線性組合