【正文】 2 1 1 1 0 1 1 1 0 1, , , 1 1 0 1 1 3 2 1 0 4 2 22 0 1 1 2 0 1 1 0 1 31110220 4 2 20 0 2T? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???????????????????行 行行 行交 換 行 和 行２ 行 １ 行3 行 2 行４２ 行 行 3 行　 　 　 　2 　 　 　 　 　　　 　　212111101 0 0220 4 0 4 0 1 0 10 0 1 0 0 1??? ? ?????????????????????????????????3 行 1 行2 行４　 　0 　 　 　 　 　 　　　 　　 1 　　 1 得唯一解1 2 30 , 1 , 1x x x? ? ? ?, 則所求?在此基下的坐標(biāo)為? ?0 , 1 , 1T? 第四章 線性方程組 （一） 線性方程組關(guān)于解的結(jié)論 定理 1 設(shè)bAX ?為 n 元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是)(),( ArbAr ? 定理 2 當(dāng) n 元非齊次線性方程組bAX ?有解時(shí)，即rArbAr ?? )(),(時(shí)， 那么 （ 1 ）bAX ?有唯一解? nr ?； （ 2 ）bAX ?有無窮多解? nr ?. 定理 3 n 元齊次線性方程組0?AX有非零解的充要條件是nrAr ??)( 推論 1 設(shè) A 為 n 階方陣，則 n 元齊次線性方程組0?AX有非零解?0?A 推論 2 設(shè) A 為nm ?矩陣，且nm ?，則 n 元齊次線性方程組必有非零解 （二）齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間 首先對任一個(gè)線性方程組，我們把它的任一個(gè)解用一個(gè)列向量表示，稱為該方程組的解向量，也簡稱為方程組的解 . 考慮由齊次線性方程組0?AX的解的全體所組成的向量集合 ? ?0?? ?? AV 顯然 V 是非空的，因?yàn)?V 中有零向量，即零解，而且容易證明 V 對向量的加法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算封閉，即解向量的和仍為解，解向量的倍數(shù)仍為解，于是 V 成為 n 維列向量空間 nR 的一個(gè)子空間，我們稱V 為方程組0?AX的解空間 （三）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解 把 n 元齊次線性方程組0?AX的解空間的任一個(gè)基，稱為該齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 . 當(dāng) n 元齊次線性方程組0?AX有非零解時(shí)，即nrAr ??)(時(shí)，就一定存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系中所含有線性無關(guān)解向量的個(gè)數(shù)為rn ? 求基礎(chǔ)解系與通解的方法是： 對方程組0?AX先由消元法，求出一般解，再把一般解寫成向量 形式，即為方程組的通解，從中也能求出一個(gè)基礎(chǔ)解系 . 例 1 求?????????????????002230322432143214321xxxxxxxxxxxx的通解 解： 對系數(shù)矩陣 A ，作初等行變換化成簡化階梯形矩陣： 122 1 2 3 1 0 3 4 1 0 3 43 2 1 2 1 1 1 1 0 1 4 51 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0A??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?行 (1)+2 行 行 (1)+3 行3 行 (1)+1 行 1 行 (1)+2 行 42)( ??Ar，有非零解，取43 , xx為自由未知量，可得一般解為??????????????4433432431,54,43xxxxxxxxxx 寫成向量形式，令13 kx ?，24 kx ?為任意常數(shù)，則通解為?????????????? ??????????????????1054014321kkX 可見，?????????????? ??????????????????1054,014321?? 為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 . （四）非齊次線性方程組 1 ． 非齊次線性方程組與它對應(yīng)的齊次線性方程組（即導(dǎo)出組）的解之間的關(guān)系 設(shè)bAX ?為一個(gè) n 元非齊次線性方程組，0?AX為它的導(dǎo)出組，則它們的解之間有以下性質(zhì)： 性質(zhì) 1 如果21 ,??是bAX ?的解，則21 ??? ??是0?AX的解 性質(zhì) 2 如果?是bAX ?的解，?是0?AX的解，則?? ?是bAX ?的解 由這兩個(gè)性質(zhì)，可以得到bAX ?的解的結(jié)構(gòu)定理： 定理 設(shè) A 是nm ?矩陣，且rArbAr ?? )(),(，則方程組bAX ?的通解為 rnrnkkkX ??????? ???? ?2211* 其中*?為bAX ?的任一個(gè)解（稱為特解） ,rn ???? , 21 ?為導(dǎo)出組0?AX的一個(gè)基礎(chǔ)解系 . 2 ．求非齊次線性方程組的通解的方法 對非齊次線性方程組bAX ?，由消元法求出其一般解，再把一般解改寫為向量形式，就得到方程組的通解 . 例 2 當(dāng)參數(shù) a ， b 為何值時(shí)，線性方程組????????????????????????1232)3(122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx 有唯一解？有無窮多解？無解？在有無窮多解時(shí)，求出通解 . 解： 對方程組的增廣矩陣施行初等行變換，把它化成階梯形矩陣： ? ?? ?2342411 1 1 1 0 1 1 1 1 00 1 2 2 1 0 1 2 2 1( , )0 1 3 2 0 0 1 0 13 2 1 1 0 1 2 3 11 0 1 1 10 1 2 2 10 0 1 0 10 0 0 1 0Aba b a baaaba??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????????????????行 行１ 行 3 行行 行2 行 1 行 當(dāng)1?a時(shí)，4)(),( ?? ArbAr，有唯一解； 當(dāng)1,1 ?? ba時(shí)，3),( ?bAr，2)( ?Ar，無解； 當(dāng)1,1 ??? ba時(shí)，2)(),( ?? ArbAr，有無窮多解 . 此時(shí)，方程組的一般解為 ????????????????44334324312211xxxxxxxxxx 令2413 , kxkx ??為任意常數(shù)，故一般解為向量形式，得方程組通解為 ?????????????????????????????????????????????? ??10210121001121kkX 第五章 特征值與特征向量 （一）特征值與特征向量 1 ． 實(shí)方陣的特征值與特征向量的定義與求法 設(shè) A 為一個(gè) n 階實(shí)方陣，若存在一個(gè)數(shù)0?及一個(gè)非零 n 維列向量?，使得 ??? 0?A， 則稱0?為 A 的一個(gè)特征值，稱?是 A 的屬于這個(gè)特征值0?的一個(gè)特征向量 . 特征值0?必是特征多項(xiàng)式AE ??的根，而相應(yīng)特征向量?必是齊次線性方程組0)( 0 ?? XAE?的非零解，反之也對 . 例 1 設(shè)?????????4221A，求 A 的特征值和特征向量 . 解 ： A 的特征方程為0)5(4221????????? ????? AE 則5,0 21 ?? ??為 A 的兩個(gè)特征值 . 對01 ??，求解( 0 ) 0E A X?? ，即 1 2 1 202 4 0 0EA??? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為???????? ??121?，則1?為 A 的屬于01 ??的一個(gè)特征向量 . 對52 ??，同理可求出0)5( ?? XAE的一個(gè)基礎(chǔ)解系為?????????212? 則2?為 A 的屬于52 ??的一個(gè)特征向量 2 ．特征值和特征向量的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè)n??? , 21 ?是 n 階方陣)( ijaA ?的全體特征值，則必有 11 1( ) ,nnni i i r iii ia t A???? ?? ? ??? ? A 這里)( At r為矩陣 A 的 n 個(gè)對角元之和，稱為 A 的跡 . 性質(zhì) 2 設(shè)已知0?為 A 的特征值，?為相應(yīng)特征向量，即??? 0?A，那么對任意多項(xiàng)式)( xf 必有??? )()( 0fAf ?，特別??? mmA 0? 性質(zhì) 3 n 階方陣 A 的屬于不同特征值的特征向量必線性無關(guān) . （二）方陣的相似變換 1 ． 矩陣相似的定義與相似矩陣的基本性質(zhì) 設(shè) A 和 B 是兩個(gè) n 階方陣，如果存在某個(gè) n 階可逆矩陣 P ，使得 APPB 1?? ，則稱 A 和 B 是相似的，記為 A ～ B. 相似矩陣必有相同的特征多項(xiàng)式，因而必有相同的特征值，相同的跡和相同的行列式，但反之不一定 . 2 ． 方陣相似對角化 若 n 階方陣 A 能相似于一個(gè) n 階對角矩陣，則說方陣 A 是可以相似對角化的，有以下基本定理： 定理 n 階方陣 A 可相似對角化?A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 . 推論 當(dāng) n 階方陣 A 有 n 個(gè)互不相同的特征值時(shí)， A 必能相似對角化 . 3 ．方陣相似對角化的方法 設(shè) A 為 n 階實(shí)方陣，若它能相似對角化，即 A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量n??? , 21 ?，不妨設(shè)它們屬于的特征值依次為n??? , 21 ?（這里可以有重復(fù)的） 則令),( 21 nP ??? ??為一個(gè) n 階可逆矩陣，必有????????????????nAPP????211 稱這個(gè)對角矩陣為 A 的相似標(biāo)準(zhǔn)形 .