自考線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)-文庫(kù)吧資料
2024-09-05 14:33本頁(yè)面
【正文】 把行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)以后加到另一行(列) 的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變 (第行的倍加到第1行,行列式的值不變) 三、特殊行列式的值1．上三角行列式 2．下三角行列式 3．對(duì)角行列式 四、幾個(gè)行列式的關(guān)系(?？伎键c(diǎn))如A,B為階方陣，則五、克拉默法則 含有個(gè)方程的元線性方程組的一般形式為 (1)，它的系數(shù)構(gòu)成的階行列式 (實(shí)質(zhì)：)稱(chēng)為方程組(1)的系數(shù)行列式定理(克拉默Cramer法則)如果個(gè)方程的元線性方程組(1)的系數(shù)行列式，則方程組必有唯一解：其中(其實(shí)就是用方程組右邊的常數(shù)列來(lái)代替系數(shù)行列式中的第列元素)六、齊次線性方程組及其解 方程組(1)中的常數(shù)，這時(shí)對(duì)應(yīng)的方程組為(2) ,稱(chēng)為齊次線性方程組 (實(shí)質(zhì)：)結(jié)論：若此時(shí)系數(shù)行列式，則方程組(2)只有零解： (此時(shí) 故有唯一解(即零解) )。一書(shū)在手 考試無(wú)憂 志存高遠(yuǎn) 貴在堅(jiān)持 線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)第一章 行列式一、余子式與代數(shù)余子式：(本質(zhì)是個(gè)實(shí)數(shù)或者代數(shù)式) 定義：劃去元素所在的第和第列的所有元素后，剩下的元素位置不變所構(gòu)成的新行列式：(本質(zhì)是個(gè)實(shí)數(shù)或者代數(shù)式)關(guān)系：(兩者要么相等，要么相反)二、關(guān)于行列式的計(jì)算方法一：對(duì)角線法(沙路法)使用對(duì)象：二、三階行列式方法二：行列展開(kāi)法使用對(duì)象：任意階行列式公式：(注：實(shí)際計(jì)算中的兩種常用方法。方法一：按照行列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)后，盡量化為上三角行列式；方法二：經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)后，接近上三角行列式，然后選擇0元素最多的行或者列展開(kāi)。 若時(shí)，則它有無(wú)窮多個(gè)解，必有非零解) 第二章 矩陣及其運(yùn)算一、矩陣的概念(數(shù)表) 定義：由個(gè)數(shù)排成的一個(gè)行列的數(shù)表，稱(chēng)為一個(gè)行列矩陣．(1)稱(chēng)為矩陣的第行第列元素(2)：行標(biāo)。(就是兩個(gè)同型矩陣)五、矩陣的相等定義：同型矩陣與，若對(duì)應(yīng)元素都相等，即，則稱(chēng)這兩個(gè)矩陣相等，記作六、矩陣的加法運(yùn)算1定義：同型矩陣與，由與的對(duì)應(yīng)元素相加所得到的一個(gè)矩陣，稱(chēng)為與的和，記為，即2運(yùn)算法則：(1)交換律 (2) 結(jié)合律 (3) (4)消去律 (5)其中稱(chēng)為的負(fù)矩陣，即,則 七、矩陣的數(shù)乘運(yùn)算：對(duì)于任意一個(gè)矩陣和任意一個(gè)數(shù)，規(guī)定與的乘積為 (每個(gè)元素都與相乘)2運(yùn)算法則：(1) 結(jié)合律：，和為任意實(shí)數(shù)(2) 分配律：，為任意實(shí)數(shù)八、矩陣的乘法運(yùn)算 (, )1．判斷可行性:要求前面矩陣的列數(shù)=后面矩陣的行數(shù) (即)2．如可行，確定新矩陣的行和列 記，則(先宏觀)的行數(shù)等于前面矩陣的行數(shù)，的列數(shù)等于后面矩陣的列數(shù)3．計(jì)算新矩陣中的每一個(gè)元素 其中(后微觀) (前面矩陣取行元素，后面矩陣取列元素，對(duì)應(yīng)相乘再相加) (比喻：前面矩陣行元素看作是觀眾，后面矩陣列元素看作是座位，觀眾到電影院看電影找座位，然后再把他們用膠水粘在一起)九、乘法運(yùn)算的法則1. 一般不滿足交換律，即 定義：若，則稱(chēng)為可交換矩陣2. 3. ，(兩種情況，左分配與右分配)4. ，為任意實(shí)數(shù) 5. 十、方陣的方冪1． 2．, 為任意正整數(shù)注意：方陣的方冪與實(shí)數(shù)域中的運(yùn)算法則相同十一、矩陣的轉(zhuǎn)置：設(shè)矩陣，把矩陣的行與列互換得到的矩陣，稱(chēng)為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，記作或，即1. 2. 3.，為實(shí)數(shù) 4. (交換位置) (對(duì)比：)(定義：若階方陣滿足,則稱(chēng)為正交矩陣)十二、方陣的行列式：由階方陣的元素按原來(lái)的順序構(gòu)成的行列式稱(chēng)為方陣的行列式，記作或，即,如果，則1. 2. 3. (行列式乘法規(guī)則)十三、方陣多項(xiàng)式定義：任意給定一個(gè)多項(xiàng)式和任意給定一個(gè)階方陣，都可以定義一個(gè)階方陣,稱(chēng)為的方陣多項(xiàng)式 (本質(zhì)是個(gè)方陣)(末項(xiàng)是數(shù)量矩陣而不是常數(shù)，方陣多項(xiàng)式是以多項(xiàng)式表示的方陣)十四、逆矩陣的概念 (注意：逆矩陣存在則其唯一)1. 定義：設(shè)是一個(gè)階方陣，若存在一個(gè)階方陣，使得成立，則稱(chēng)是可逆矩陣(或非奇異矩陣),并稱(chēng)方陣為的逆矩陣，記為。這里，和為任意整數(shù) (包括負(fù)整數(shù)，零和正整數(shù))十五、伴隨矩陣設(shè)，為的元素的代數(shù)余子式，則定義矩陣為的伴隨矩陣，記為，即注意：若為階方陣，則十六、求逆矩陣的兩種方法
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