【正文】 行列式大于零是實(shí)對(duì)稱矩陣為正定矩陣的必要條件，不是充分條件。32． 行列式大于零的實(shí)對(duì)稱矩陣是正定矩陣嗎？【知識(shí)點(diǎn)】：實(shí)對(duì)稱矩陣，正定矩陣，行列式。31． 正定矩陣的逆是正定矩陣嗎？【知識(shí)點(diǎn)】：正定矩陣，逆矩陣。30． 正定矩陣的伴隨矩陣是正定矩陣嗎？【知識(shí)點(diǎn)】：正定矩陣，伴隨矩陣。29． 正定矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是正定矩陣嗎？【知識(shí)點(diǎn)】：正定矩陣，轉(zhuǎn)置矩陣。28． 正定矩陣是可逆的嗎？【知識(shí)點(diǎn)】：正定矩陣，可逆矩陣。27． 同階正定矩陣的和仍為正定矩陣嗎？【知識(shí)點(diǎn)】：正定矩陣的和的性質(zhì)。26． 同階正定矩陣A，B的乘積仍為正定矩陣嗎？【知識(shí)點(diǎn)】：正定矩陣的乘積的性質(zhì)。合同的矩陣一定是等價(jià)的，相似的矩陣一定是等價(jià)的。合同要求矩陣A，B是對(duì)稱矩陣且有關(guān)系：C－1AC=B。答：等價(jià)的矩陣要求兩個(gè)矩陣是同型的。只有當(dāng)矩陣A是對(duì)稱矩陣時(shí)，矩陣A的特征值全大于零是才是正定矩陣的充要條件。24． 矩陣A的特征值全大于零是否為正定矩陣的充要條件？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣的特征值，正定矩陣。答：(1)XTAX是正定二次型；(2) XTAX 的正慣性指數(shù)=n。它是必要條件。22． 實(shí)二次型XTAX的矩陣A的主對(duì)角線上的元素全大于零是正定二次型的充要條件嗎？【知識(shí)點(diǎn)】：正定二次型的條件。21． n階矩陣A成為正定矩陣有什么條件？【知識(shí)點(diǎn)】：正定矩陣。20． 實(shí)二次型f(x1,x2,…,xn)為正定的定義是什么？【知識(shí)點(diǎn)】：正定的實(shí)二次型。答：兩個(gè)同階實(shí)對(duì)稱矩陣A，B合同有相同的秩不是合同的充要條件。答：二次型XTAX的秩、正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)。答：二次型XTAX的標(biāo)準(zhǔn)型中正項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)和負(fù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)分別叫正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)。答：不計(jì)符號(hào)的順序下是唯一。答：用配方法得到的標(biāo)準(zhǔn)型與用正交變換法得到的標(biāo)準(zhǔn)型不一定相同。答：二次型通過(guò)XTAX正交變換法得到的標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)是二次型XTAX的矩陣A的特征值。答：將二次型的對(duì)稱矩陣用正交矩陣對(duì)角化的過(guò)程。答：配方法和正交變換法。答：任意一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)對(duì)角矩陣。答：任意一個(gè)實(shí)二次型XTAX都可以經(jīng)過(guò)一個(gè)滿秩線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型。答：合同，即CTAC=B。8． 兩個(gè)n階方陣A,B合同是什么含義？【知識(shí)點(diǎn)】：方陣的合同。7． 二次型經(jīng)過(guò)滿秩線性變換后變成什么？【知識(shí)點(diǎn)】：二次型的線性變換。答：滿秩線性變換是系數(shù)矩陣為可逆的線性變換。二次型 的正規(guī)型是平方項(xiàng)的系數(shù)只能為1或－1的標(biāo)準(zhǔn)型。5． 何為二次型 的標(biāo)準(zhǔn)型和正規(guī)型？【知識(shí)點(diǎn)】：二次型的標(biāo)準(zhǔn)型和正規(guī)型的概念。4． 二次型 的秩是怎樣定義的？【知識(shí)點(diǎn)】：二次型的秩。3． 二次型與對(duì)稱矩陣之間有什么聯(lián)系？【知識(shí)點(diǎn)】：二次型，對(duì)稱矩陣。2． 二次型 的矩陣A的表示形式有什么要求？【知識(shí)點(diǎn)】：二次型的矩陣的表示。第六章 二次型 1． n元二次型是如何定義的？【知識(shí)點(diǎn)】：二次型的概念。32． 將實(shí)對(duì)稱矩陣A對(duì)角化的正交矩陣T是如何得到的？【知識(shí)點(diǎn)】：實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的正交矩陣。31． 任何一個(gè)矩陣可用正交矩陣對(duì)角化嗎？【知識(shí)點(diǎn)】：實(shí)對(duì)稱矩陣與一般矩陣的對(duì)角化的區(qū)別。30． 實(shí)對(duì)稱矩陣可用正交矩陣對(duì)角化嗎？【知識(shí)點(diǎn)】：實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化。29． 任何一個(gè)矩陣的屬于不同特征值的特征向量一定正交嗎？【知識(shí)點(diǎn)】：實(shí)對(duì)稱矩陣與一般矩陣的特征向量的區(qū)別。28． 實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量一定正交嗎？【知識(shí)點(diǎn)】：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征向量的性質(zhì)。答：非對(duì)稱矩陣不一定可對(duì)角化。答：實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù)。答：實(shí)對(duì)稱矩陣A一定可對(duì)角化。答：n階矩陣A有n個(gè)互不相同的特征值是矩陣可對(duì)角化的充分條件?？赡婢仃嘋的第j列是屬于對(duì)角矩陣B的第j個(gè)位置上的特征值的特征向量。23． 如果矩陣A與對(duì)角矩陣B相似，即存在可逆矩陣C使C－1AC=B，那么可逆矩陣C是怎樣構(gòu)成的？它與對(duì)角矩陣B有什么對(duì)應(yīng)關(guān)系？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣相似。22． 如果矩陣A與對(duì)角矩陣相似，那么對(duì)角矩陣的對(duì)角線上的元素是什么？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣對(duì)角化，特征值。21． n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似（矩陣可對(duì)角化）的充要條件是什么？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣可對(duì)角化的條件。20． 相似矩陣的特征向量是否相同？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣的相似，特征向量。答：不一定。答：如果兩個(gè)矩陣A,B相似，那么它們的特征多項(xiàng)式、特征值相同。答：將多項(xiàng)式矩陣f(A)的變量換成矩陣A的特征值代入計(jì)算就得到f(A)的特征值。答：如果兩個(gè)矩陣A,B相似，那么它們的數(shù)乘、冪也相似。答：兩個(gè)可逆的矩陣A,B如果相似，那么它們的逆也相似。可得：相似矩陣A,B同時(shí)可逆或同時(shí)不可逆。14． 相似矩陣A,B的行列式是否相等？由此可得什么結(jié)論？【知識(shí)點(diǎn)】：相似矩陣的行列式。13． 兩個(gè)同階矩陣A,B相似的條件是什么？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣相似。12． 矩陣A的特征值與矩陣A的主對(duì)角線上的元素之間有什么關(guān)系？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣的特征值，矩陣A的主對(duì)角線上的元素之和。11． 矩陣A的特征值與矩陣的行列式|A|之間有什么關(guān)系？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣的特征值，矩陣的行列式。10． 求方陣A的特征值和特征向量的步驟是怎樣的？【知識(shí)點(diǎn)】：特征值和特征向量的求法。9． 屬于s個(gè)不同特征值的s個(gè)特征向量構(gòu)成的向量組是否一定線性無(wú)關(guān)？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣的特征向量，線性無(wú)關(guān)。8． 方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT的特征向量是否相同？【知識(shí)點(diǎn)】：轉(zhuǎn)置矩陣的特征向量。7． 方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT的特征值是否相同？【知識(shí)點(diǎn)】：轉(zhuǎn)置矩陣的特征值。6． 屬于同一個(gè)特征值λ的任何兩個(gè)特征向量的任何線性組合是否都是屬于該特征值的特征向量？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣的特征向量。5． 方陣A的特征向量是如何求得的？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣的特征向量。4． 方陣A的特征值是如何求得的？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣的特征值。3． 是否滿足方程AX=λX的任何一個(gè)向量X都是方陣A的特征向量？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣的特征向量。2． n階方陣A的特征值λ和特征向量X滿足什么條件？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣的特征值和特征向量。由問(wèn)題23的答可得非齊次線性方程組的通解第五章 矩陣的相似對(duì)角形 1． 什么型的矩陣才有特征值和特征向量的概念？【知識(shí)點(diǎn)】：矩陣的特征值和特征向量。24． 非齊次線性方程組AX=b的通解怎樣得到？【知識(shí)點(diǎn)】：非齊次線性方程組的通解的求法。23． 非齊次線性方程組AX=b的通解怎樣表示？【知識(shí)點(diǎn)】：非齊次線性方程組的通解。22． 非齊次線性方程組AX=b的任意兩個(gè)解X1，X2的差X1X2是什么方程組的解？【知識(shí)點(diǎn)】：非齊次線性方程組的解的性質(zhì)。21． 非齊次線性方程組AX=b的導(dǎo)出組指的是什么？【知識(shí)點(diǎn)】：非齊次線性方程組的導(dǎo)出組。20． 非齊次線性方程組AX=b的任意兩個(gè)解X1，X2的和X1+X2是否仍為該方程組的解？【知識(shí)點(diǎn)】：非齊次線性方程組的解的性質(zhì)。19． 齊次線性方程組AX=0的通解怎么表示？【知識(shí)點(diǎn)】：齊次線性方程組的通解。18． 如何確定齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系？【知識(shí)點(diǎn)】：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的確定。17． 齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是否唯一？等于多少？【知識(shí)點(diǎn)】：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。16． 齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系是否唯一？【知識(shí)點(diǎn)】：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。15． 齊次線性方程組AX=0什么時(shí)候沒(méi)有基礎(chǔ)解系？【知識(shí)點(diǎn)】：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。14． 齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系η1，η2，…，ηr要滿足什么條件？【知識(shí)點(diǎn)】：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。13． 齊次線性方程組AX=0的任何一個(gè)解X與任何一個(gè)數(shù)k的乘積kX是否仍是該齊次線性方程組的解？【知識(shí)點(diǎn)】：齊次線性方程組的解的性質(zhì)。12． 齊次線性方程組AX=0的任何兩個(gè)解X1，X2的和X1+X2是否仍為該齊次線性方程組的解？【知識(shí)點(diǎn)】：齊次線性方程組的解的性質(zhì)。11． 齊次線性方程組AX=0主要關(guān)心的是什么樣的解？【知識(shí)點(diǎn)】：齊次線性方程組的解。10． 齊次線性方程組AX=0是否一定有解？【知識(shí)點(diǎn)】：齊次線性方程組的解。9． 如何判斷方程組AX=b有解的條件？【知識(shí)點(diǎn)】：方程組有解的條件。8． 對(duì)方程組AX=b進(jìn)行初等變換相當(dāng)于對(duì)增廣矩陣B=(A,b)作什么變換？【知識(shí)點(diǎn)】：方程組的初等變換，矩陣的初等變換。7． 非齊次線性方程組AX=b有無(wú)窮多解的條件是什么？【知識(shí)點(diǎn)】：非齊次線性方程組有無(wú)窮多解的條件。6． 非齊次線性方程組AX=b有唯一解的條件是什么？【知識(shí)點(diǎn)】：非齊次線性方程組有唯一解的條件。5． 方程組的初等變換有哪幾種？【知識(shí)點(diǎn)】：方程組的初等變換。4． 非齊次線性方程組AX=b有解的充要條件是什么？【知識(shí)點(diǎn)】：非齊次線性方程組有解的充要條件。3． 什么是非齊次線性方程組？【知識(shí)點(diǎn)】：非齊次線性方程組。2． 什么是齊次線性方程組？【知識(shí)點(diǎn)】：齊次線性方程組。 第四章 線性方程組 1． 線性方程組AX=b的增廣矩陣指的是什么？【知識(shí)點(diǎn)】：線性方程組的增廣矩陣。答：正交矩陣是可逆。答：正交矩陣的乘積是正交矩陣。1。56． 正交矩陣的行列式等于多少？【知識(shí)點(diǎn)】：正交矩陣。55． 一個(gè)矩陣成為正交矩陣有什么條件？【知識(shí)點(diǎn)】：正交矩陣。54． 能否從一個(gè)線性相關(guān)的向量組進(jìn)行施密特正交化？【知識(shí)點(diǎn)】：施密特正交化。53． 一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組如何變成與它等價(jià)的正交向量組？【知識(shí)點(diǎn)】：正交向量組，線性無(wú)關(guān)。52． 正交向量組是否線性無(wú)關(guān)？【知識(shí)點(diǎn)】：正交向量組，線性無(wú)關(guān)。51． 什么是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組？【知識(shí)點(diǎn)】：標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。50． 什么是單位向量？【知識(shí)點(diǎn)】：向量的長(zhǎng)度。49． 什么是正交向量組？【知識(shí)點(diǎn)】：正交向量組。48． 兩個(gè)向量正交的含義是什么？【知識(shí)點(diǎn)】：向量正交的概念。47． 什么是歐氏空間？【知識(shí)點(diǎn)】：歐氏空間的概念。答：兩個(gè)向量之間的內(nèi)積是對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和，即設(shè)α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)。例如：向量（1，1）在基（1，0），（0，1）下的坐標(biāo)為（