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線性代數(shù)公式定理總結(參考版)

2025-03-26 12:03本頁面
  

【正文】 (C162。Ax=(Cy)162。aijxixj=x162。2+ny162。235。235。y143x249。111249。xnM1xx1249。LannMLa2nan1=x162。Mi,j=1234。aijxixj=(x1,x2,L,xn)234。a11234。xnM1xx1249。Lann,MLa2n235。21234。a11234。4 化二次型為標準型前面我們主要研究線性問題,但在實際問題中還存在大量非線性問題,其中最簡單的模型就是二次型,本節(jié)用矩陣工具來研究二次型,介紹化二次型為標準型的幾種方法.定義8 n元變量x1,x2,L,xn的二次齊次多項式22f(x1,x2,L,xn)=a11x12+a22x2+L+annxn+2a12x1x2+L+2a1nx1xn+2a23x2x3+L+2an1,nxn1xn,f稱為復二次型,當aij為實數(shù)時, f稱為實二次型,我們僅限于討論實二次型.取aji=aij(i()j)則2aijxixj=aijxixj+()式可寫成對稱形式2f=a11x12+a12x1x2+L+a1nx1xn+a21x2x1+a22x2+L2+a2nx2xn+L+an1xnx1+an2xnx2+L+annxn()=記i,j=1229。任意兩個列向量正交. 3176。其中λ1,λ2,?,λn是A的特征值.在這里,我們主要介紹如何具體算出上述正交矩陣T,由于T是正交矩陣,所以T的列向量組是正交的單位向量組,且如前所述,T的列向量組是由A的n個線性無關的特征向量組成,因此對T的列向量組有三條要求:1176。lnO234。234。l2234。0. i=1i=1nn2故l=0,即l=,這表明l是實數(shù).顯然,當特征值li為實數(shù)時,齊次線性方程組(AliE)x=0是實系數(shù)線性方程組,從而必有實的基礎解系,即對應于λi的特征向量必可取實向量.定理7 設λ1,λ2是實對稱矩陣的兩個特征值,p1,p2是對應的特征向量,若λ1≠λ2,則p1與p2正交.證 λ1p1=Ap1,λ2p2=Ap2,λ1≠λ2,因A對稱,故λ1p1′=(λ1 p1)′=(Ap1)′=p1′A′=p1′A,于是λ1 p1′p2=p1′Ap2= p1′(λ2p2)= λ2 p1′p2即(λ1-λ2)p1′p2=0,但λ1≠λ2,故p1′p2=0,即p1與p2正交.定理8 設A為實對稱矩陣,則必存在正交矩陣T,使 2012年6月14日星期四26 / 35 233。ixi=229。x=0.但因x≠0,所以162。x=162。)x=()162。Ax=lx=lx及162。上式等號左邊第二個矩陣的行列式為范德蒙行列式,當λ即xipi=0,但pi≠0,故xi=0,i=1,2,?,m.所以向量組p1,p2,?,pm線性無關.i各不相同時,該矩陣可逆,于是有 (x1 p1,x2 p2,?,xm pm) =O,167。1lmLlmm1234。MMM234。=O. 22(x1 p1,x2 p2,?,xm pm)234。m11lLl234。234。2 方陣的特征值和特征向量定義6 設A為n階方陣,若存在數(shù)λ和非零n維向量x,使得Ax=λx, ()則稱λ為矩陣A的特征值,稱x為矩陣A對應于特征值λ的特征向量.()式也可寫成(A-λE)x=0. ()()式的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是|A-λE|=0. ()()式的左端為λ的n次多項式,(λ)=|AλE|,稱為A的特征多項式,()稱為A的特征方程,特征方程在復數(shù)范圍設λ1,λ2,?,λp2,?,pm線性無關.證 設有常數(shù)x1,x2,?,xm,使 2012年6月14日星期四 m是方陣A的m個互不相同的特征值,p1,p2,?,pm依次是與之對應的特征向量,則p1,24 / 35x1 p1+ x2 p2+?+ xm pm =0,則A(x1 p1+ x2 p2+?+ xm pm) =0,即l1x1p1+l2x2p2+L+lmxmpm=0.類推有l(wèi)kx1p1+lkx2p2+L+lkxmpm=0(k=1,2,L,m1). 12m把上列各式合寫成矩陣形式,得233。sinqsinq249。cosqT=234。0i185。236。由此得到n個關系式 2ai162。235。162。M(a1,a2,L,an)=E, 亦即 (ai162。234。a2162。1249。Rn)的任一基a1,a2,L,ar轉換為一正交規(guī)范基的Schmidt正交化方法,其具體步驟如[b1,a2]b,Lb1,b11 [b,a][b,a][b,a]br=ar1rb12rb2Lr1rbr1,b1,b1b2,b2br1,br1b1=a1,b2=a2容易驗證b1,b2,L,br兩兩正交,即令e1=則e1,e2,L,er就是V的一個正交規(guī)范基.定義4 如果n階方陣滿足A′A=E(即A用A的列向量表示,即是 -1b1bb,e2=2,L,er=r, b1b2br=A′),就稱A為正交矩陣.233。ei=li, =ei162。Rn)的一個基,如果e1,e2,L,er兩兩正交,且都是單位向量,a=l1e1+l2e2+L+lrer,則由 ei162。rar0234。162。MMM234。a2162。01249。249。233。a162。x=0,L,ar162。λaii=1ri=0.,分別用ak與上式兩端作若a1,a2,L,ar是正交向量組,且r<n,則必存在n維非零向量x,使a1,a2,L,ar,x也為正交向量組. 證 x應滿足a1162。稱[x,y]=x1y1+x2y2+L+xnyn為x與y的內積.內積是向量的一種運算,用矩陣形式可表為[x,y]=x162。235。x235。234。234。234。 234。y=234。2x=234。234。234。233。1 向量的設有n維向量233。近幾年方程組也常與空間平面聯(lián)合出題,請大家注意方程組與空間平面的關系。要求考生熟練掌握線性方程組的解的判定和結構。本章幾乎每年都要考查,也是線性代數(shù)部分的考試重點。當非齊次線性方程組有無窮多解時,它的通解可表示為:x=h0+k1h1+k2h2+?+knr hnr,其中h0為意常數(shù)。248。248。248。0 247。0 247。1 247。M 247。M 247。247。247。247。247。0 247。1 247。0 247。247。247。247。247。247。247。即為其基礎解系。?,hn–r =231。h2=231。h1=231。231。231。231。231。231。231。c231。231。231。231。231。231。230。230。 可得方程組(1)的n–r個線性無關的解230。230。230。230。232。231。231。231。232。231。231。231。232。231。231。231。231。231。(共n–r個)231。?,231。231。xr=crr+1xr+1crr+2xr+2Lcrnxn其中xr+1, xr+2,?, xn為自由未知量對這n–r個自由未知量分別取 231。 L239。22r+1r+12r+2r+22nn237。x1=c1r+1xr+1c1r+2xr+2Lc1nxn239。0248。L247。 0247。247。0247。0即方程組01L00L0LLLLLLL00L10L0c1r+1c2r+1Lcrr+10L0LLLLLLLc1nc2nLcrn0L00246。L231。0231。231。0231。1231。lt。Ax=O的全部解為:h=k1h1+k2h2+?+knr hnr,其中ki(i=1,2,?,nr)為任意常數(shù)。n),則若Ax=O一定有基礎解系,并且基礎解系含有nr個線性無關的解向量。1212如果齊次線性方程組有非零解(r(A)=ramp。 h1,h2,?,hs線性無關; 2176。秩(A)n。 Ax=b有無窮多解222。Ax=O只有零解219。n,則有無窮多解。秩(A)=秩()=r237。 四、非齊次線性方程組與其對應的齊次線性方程組解的關系 236。n時,齊次線性方程組必有非零解。 特別地,當mamp。lt。248。247。00247。247。247。c2n0247。LLLLLLLLc1n0246。00L00232。LLLLL231。0231。00L1crr+1231。LLLLL231。231。具體做法:由于齊次線性方程組=n時,有唯一解;秩(A)=rn時,有非零解,且有nr個線性無關的解向Ax=O的增廣矩陣的最后一列全為零,所以對施行初等行變換,可化為:230。 2012年6月14日星期四18 / 35 當方程組有解時,寫出階梯形矩陣對應的線性方程組,并求解,就可得到原方程組的解。0247。L247。dr+1247。dr247。L247。247。0,原方程組無解。n時,原方程組有無窮多解。 (2)當dr+1=0,且ramp。00L00232。LLLLL231。0231。231。 ? 174。LLLLL231。231。具體做法:設未知量的順序):Ax=b的增廣矩陣記為,則經(jīng)過初等行變換可化為如下的階梯形矩陣(需要交換列時可重新排列230。238。2) 若秩(A)236。Ax=b三、線性方程組解的判定定理非齊次線性方程組 1)若秩(A) 185。Ax=O的解,b是Ax=b的解,則a+b是Ax=b的解。Ax=O的解,則ka+ka+?+kas也是它的解.ki為任意常數(shù)(i=1,2,?,s)。Ax=O的兩個解,則a+b也是它的解。238。 (II)L L L L L239。ax+ax+L+ax=0239。 2012年6月14日星期四17 / 35 236。A叫作(I)的系數(shù)矩陣,叫作(I)的增廣矩陣。232。232。232。Lamnbm247。231。231。231。231。231。231。247。247。247。 247。231。231。231。247。231。231。231。b1246。x1246。a1j246。248。a232。247。LLLL247。231。231。230。a232。L231。231。am1x1+am2x2+L+amnxn=bm230。239。a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2非齊次線性方程組的一般形式:237。a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1239。注:n個n維向量,若長度為1,且兩兩正交,責備以它們?yōu)榱校ㄐ校?向量構成的矩陣一定是正交矩陣。 1 (2)A(3) (4)AB定理:n階實矩陣A是正交矩陣219。E,則稱A為正交矩陣。232。231。=231。231。正交,
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