【正文】 (C162。Ax=(Cy)162。aijxixj=x162。2+ny162。235。235。y143x249。111249。xnM1xx1249。LannMLa2nan1=x162。Mi,j=1234。aijxixj=(x1,x2,L,xn)234。a11234。xnM1xx1249。Lann,MLa2n235。21234。a11234。4 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型前面我們主要研究線性問題，但在實(shí)際問題中還存在大量非線性問題，其中最簡單的模型就是二次型，本節(jié)用矩陣工具來研究二次型，介紹化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的幾種方法.定義8 n元變量x1,x2,L,xn的二次齊次多項(xiàng)式22f(x1,x2,L,xn)=a11x12+a22x2+L+annxn+2a12x1x2+L+2a1nx1xn+2a23x2x3+L+2an1,nxn1xn，f稱為復(fù)二次型，當(dāng)aij為實(shí)數(shù)時(shí), f稱為實(shí)二次型，我們僅限于討論實(shí)二次型.取aji＝aij(i（）j)則2aijxixj＝aijxixj＋()式可寫成對稱形式2f=a11x12+a12x1x2+L+a1nx1xn+a21x2x1+a22x2+L2+a2nx2xn+L+an1xnx1+an2xnx2+L+annxn（）=記i,j=1229。任意兩個列向量正交. 3176。其中λ１，λ２，?，λn是A的特征值.在這里，我們主要介紹如何具體算出上述正交矩陣T，由于T是正交矩陣，所以T的列向量組是正交的單位向量組，且如前所述，T的列向量組是由A的n個線性無關(guān)的特征向量組成，因此對T的列向量組有三條要求：1176。lnO234。234。l2234。0. i=1i=1nn2故l=0，即l=，這表明l是實(shí)數(shù).顯然，當(dāng)特征值li為實(shí)數(shù)時(shí)，齊次線性方程組(AliE)x=0是實(shí)系數(shù)線性方程組，從而必有實(shí)的基礎(chǔ)解系，即對應(yīng)于λｉ的特征向量必可取實(shí)向量.定理7 設(shè)λ1，λ2是實(shí)對稱矩陣的兩個特征值，p1，p2是對應(yīng)的特征向量，若λ1≠λ2，則p1與p2正交.證 λ1p1＝Ap1，λ2p2＝Ap2，λ1≠λ2，因A對稱，故λ1p1′＝(λ1 p1)′＝(Ap1)′＝p1′A′＝p1′A，于是λ1 p1′p2＝p1′Ap2= p1′(λ2p2)= λ2 p1′p2即（λ1－λ2）p1′p2＝0，但λ1≠λ2，故p1′p2＝0，即p1與p2正交.定理8 設(shè)A為實(shí)對稱矩陣，則必存在正交矩陣T，使 2012年6月14日星期四26 / 35 233。ixi=229。x=0.但因x≠０，所以162。x=162。)x=()162。Ax=lx=lx及162。上式等號左邊第二個矩陣的行列式為范德蒙行列式，當(dāng)λ即xipi＝0，但pi≠0，故xi＝0，i＝1，2，?，m.所以向量組p1，p2，?，pm線性無關(guān).ｉ各不相同時(shí)，該矩陣可逆，于是有 (x1 p1，x2 p2，?，xm pm) =O，167。1lmLlmm1234。MMM234。=O. 22(x1 p1，x2 p2，?，xm pm)234。m11lLl234。234。2 方陣的特征值和特征向量定義6 設(shè)A為n階方陣，若存在數(shù)λ和非零n維向量x，使得Ａx＝λx， （）則稱λ為矩陣A的特征值，稱x為矩陣A對應(yīng)于特征值λ的特征向量.()式也可寫成（Ａ－λＥ）x＝０. （）()式的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是｜Ａ－λＥ｜＝０. （）()式的左端為λ的n次多項(xiàng)式，(λ)=|ＡλＥ|，稱為A的特征多項(xiàng)式，()稱為A的特征方程，特征方程在復(fù)數(shù)范圍設(shè)λ1，λ2，?，λp2，?，pm線性無關(guān).證 設(shè)有常數(shù)x1，x2，?，xm，使 2012年6月14日星期四 m是方陣A的m個互不相同的特征值，p1，p2，?，pm依次是與之對應(yīng)的特征向量，則p1，24 / 35x1 p1+ x2 p2+?+ xm pm =0,則A(x1 p1+ x2 p2+?+ xm pm) =0,即l1x1p1+l2x2p2+L+lmxmpm=0.類推有l(wèi)kx1p1+lkx2p2+L+lkxmpm=0(k=1,2,L,m1). 12m把上列各式合寫成矩陣形式，得233。sinqsinq249。cosqT=234。0i185。236。由此得到n個關(guān)系式 ２ai162。235。162。M(a1,a2,L,an)=E, 亦即 (ai162。234。a2162。1249。Rn)的任一基a1,a2,L,ar轉(zhuǎn)換為一正交規(guī)范基的Schmidt正交化方法，其具體步驟如[b1,a2]b,Lb1,b11 [b,a][b,a][b,a]br=ar1rb12rb2Lr1rbr1,b1,b1b2,b2br1,br1b1=a1,b2=a2容易驗(yàn)證b1,b2,L,br兩兩正交，即令e1=則e1,e2,L,er就是V的一個正交規(guī)范基.定義4 如果n階方陣滿足A′A＝E（即A用A的列向量表示，即是 －１b1bb,e2=2,L,er=r, b1b2br＝A′），就稱A為正交矩陣.233。ei=li， =ei162。Rn)的一個基，如果e1,e2,L,er兩兩正交，且都是單位向量，a=l1e1+l2e2+L+lrer,則由 ei162。rar0234。162。MMM234。a2162。01249。249。233。a162。x=0,L,ar162。λaii=1ri=0.，分別用ak與上式兩端作若a1,a2,L,ar是正交向量組，且ｒ＜n，則必存在n維非零向量x，使a1,a2,L,ar，x也為正交向量組. 證 x應(yīng)滿足a1162。稱[x,y]=x1y1+x2y2+L+xnyn為x與y的內(nèi)積.內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，用矩陣形式可表為[x,y]=x162。235。x235。234。234。234。 234。y=234。2x=234。234。234。233。1 向量的設(shè)有n維向量233。近幾年方程組也常與空間平面聯(lián)合出題，請大家注意方程組與空間平面的關(guān)系。要求考生熟練掌握線性方程組的解的判定和結(jié)構(gòu)。本章幾乎每年都要考查，也是線性代數(shù)部分的考試重點(diǎn)。當(dāng)非齊次線性方程組有無窮多解時(shí)，它的通解可表示為：x=h0+k1h1+k2h2+?+knr hnr，其中h0為意常數(shù)。248。248。248。0 247。0 247。1 247。M 247。M 247。247。247。247。247。0 247。1 247。0 247。247。247。247。247。247。247。即為其基礎(chǔ)解系。?，hn–r =231。h2=231。h1=231。231。231。231。231。231。231。c231。231。231。231。231。231。230。230。 可得方程組(1)的n–r個線性無關(guān)的解230。230。230。230。232。231。231。231。232。231。231。231。232。231。231。231。231。231。（共n–r個）231。?，231。231。xr=crr+1xr+1crr+2xr+2Lcrnxn其中xr+1， xr+2，?， xn為自由未知量對這n–r個自由未知量分別取 231。 L239。22r+1r+12r+2r+22nn237。x1=c1r+1xr+1c1r+2xr+2Lc1nxn239。0248。L247。 0247。247。0247。0即方程組01L00L0LLLLLLL00L10L0c1r+1c2r+1Lcrr+10L0LLLLLLLc1nc2nLcrn0L00246。L231。0231。231。0231。1231。lt。Ax=O的全部解為：h=k1h1+k2h2+?+knr hnr，其中ki(i=1，2，?，nr)為任意常數(shù)。n)，則若Ax=O一定有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系含有nr個線性無關(guān)的解向量。1212如果齊次線性方程組有非零解(r(A)=ramp。 h1，h2，?，hs線性無關(guān)； 2176。秩(A)n。 Ax=b有無窮多解222。Ax=O只有零解219。n,則有無窮多解。秩(A)=秩()=r237。 四、非齊次線性方程組與其對應(yīng)的齊次線性方程組解的關(guān)系 236。n時(shí)，齊次線性方程組必有非零解。 特別地，當(dāng)mamp。lt。248。247。00247。247。247。c2n0247。LLLLLLLLc1n0246。00L00232。LLLLL231。0231。00L1crr+1231。LLLLL231。231。具體做法：由于齊次線性方程組=n時(shí)，有唯一解；秩(A)=rn時(shí)，有非零解，且有nr個線性無關(guān)的解向Ax=O的增廣矩陣的最后一列全為零，所以對施行初等行變換，可化為：230。 2012年6月14日星期四18 / 35 當(dāng)方程組有解時(shí)，寫出階梯形矩陣對應(yīng)的線性方程組，并求解，就可得到原方程組的解。0247。L247。dr+1247。dr247。L247。247。0，原方程組無解。n時(shí)，原方程組有無窮多解。 （2）當(dāng)dr+1=0，且ramp。00L00232。LLLLL231。0231。231。 ? 174。LLLLL231。231。具體做法：設(shè)未知量的順序)：Ax=b的增廣矩陣記為，則經(jīng)過初等行變換可化為如下的階梯形矩陣(需要交換列時(shí)可重新排列230。238。2) 若秩(A)236。Ax=b三、線性方程組解的判定定理非齊次線性方程組 1）若秩(A) 185。Ax=O的解，b是Ax=b的解，則a+b是Ax=b的解。Ax=O的解，則ka+ka+?+kas也是它的解．ki為任意常數(shù)(i=1，2，?，s)。Ax=O的兩個解，則a+b也是它的解。238。 (II)L L L L L239。ax+ax+L+ax=0239。 2012年6月14日星期四17 / 35 236。A叫作(I)的系數(shù)矩陣，叫作(I)的增廣矩陣。232。232。232。Lamnbm247。231。231。231。231。231。231。247。247。247。 247。231。231。231。247。231。231。231。b1246。x1246。a1j246。248。a232。247。LLLL247。231。231。230。a232。L231。231。am1x1+am2x2+L+amnxn=bm230。239。a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2非齊次線性方程組的一般形式：237。a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1239。注：n個n維向量，若長度為1，且兩兩正交，責(zé)備以它們?yōu)榱校ㄐ校?向量構(gòu)成的矩陣一定是正交矩陣。 1 (2)A(3) (4)AB定理：n階實(shí)矩陣A是正交矩陣219。E，則稱A為正交矩陣。232。231。=231。231。正交，