【正文】 大無關(guān)組等價(jià).?向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià),且這兩個(gè)組所含向量的個(gè)數(shù)相等.?若兩個(gè)線性無關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.?若 是 矩陣,則 ,若，的行向量線性無關(guān)；若，的列向量線性無關(guān),即： 向量式矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：線性方程組解的性質(zhì)：√ 設(shè) 為 矩陣,若 ,則 ,從而 時(shí),一定不是唯一解., 的上限.√ 矩陣的秩的性質(zhì)：①②≤③≤④⑤⑥ ≥ ⑦≤ ⑧⑨⑩且 在矩陣乘法中有左消去律:標(biāo)準(zhǔn)正交基個(gè) 維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1..是單位向量.√ 內(nèi)積的性質(zhì)：① 正定性：② 對(duì)稱性：③ 雙線性：施密特線性無關(guān)，單位化：正交矩陣.√是正交矩陣的充要條件： 的 個(gè)行（列）向量構(gòu)成 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.√ 正交矩陣的性質(zhì)：①；②；③是正交陣,則（或）也是正交陣；④ 兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣； ⑤ .的特征多項(xiàng)式.的特征方程.√ 上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的 各元素.√ 若 ,則 為 的特征值,且 的基礎(chǔ)解系即為屬于 的線性無關(guān)的特征向量.√√ 若 ,則 一定可分解為 =、,從而 的特征值為： ，.√ 若 的全部特征值，是多項(xiàng)式,則:①的全部特征值為 ；② 當(dāng) 可逆時(shí), 的全部特征值為 , 的全部特征值為.√√與 相似（為可逆陣）記為：√相似于對(duì)角陣的充要條件： 恰有 , 為 的特征向量拼成的矩陣，為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為 的特征值.√可對(duì)角化的充要條件：為 的重?cái)?shù).√ 若 階矩陣 有 個(gè)互異的特征值,則 正交相似（為正交矩陣）√ 相似矩陣的性質(zhì)：①若 均可逆②③（為整數(shù)）④,從而 有相同的特征值,: 是 關(guān)于 的特征向量, 是 關(guān)于 的特征向量.⑤從而 同時(shí)可逆或不可逆⑥⑦√ 數(shù)量矩陣只與自己相似.√ 對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：① 特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量；② 與對(duì)角矩陣合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④重特征值必定有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量；⑤ 必可用正交矩陣相似對(duì)角化（一定有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 可能有重的特征值,重?cái)?shù)=）.可以相似對(duì)角化與對(duì)角陣 ：（稱 是 的相似標(biāo)準(zhǔn)型）√ 若 為可對(duì)角化矩陣,則其非零特征值的個(gè)數(shù)（重?cái)?shù)重復(fù)計(jì)算）.√ 設(shè) 為對(duì)應(yīng)于 的線性無關(guān)的特征向量,則有：.√ 若 , ,則：.√ 若 ,則 ,.二次型為對(duì)稱矩陣與 合同.記作：（）√ 兩個(gè)矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù).√ 兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：√ 兩個(gè)矩陣合同的必要條件是： √經(jīng)過化為 標(biāo)準(zhǔn)型.√ 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的,與所作的正交變換有關(guān),但系數(shù)不為零的個(gè)數(shù)是由惟一確定的.√ 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù) 為1，1或0時(shí),則為規(guī)范形.√ 實(shí)對(duì)稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)等于它的正（負(fù)）特征值的個(gè)數(shù).√ 任一實(shí)對(duì)稱矩陣 與惟一對(duì)角陣 合同.√ 用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形: ①求出 的特征值、特征向量； ②對(duì) 個(gè)特征向量單位化、正交化；③構(gòu)造（正交矩陣）, ；④作變換 ,新的二次型為 , 的主對(duì)角上的元素 即為 不全為零，.正定矩陣正定二次型對(duì)應(yīng)的矩陣.√ 合同變換不改變二次型的正定性.√ 成為正定矩陣的充要條件（之一成立）：①正慣性指數(shù)為 ； ②的特征值全大于 ； ③的所有順序主子式全大于 ； ④合同于，即存在可逆矩陣 使 ； ⑤存在可逆矩陣，使（從而）； ⑥存在正交矩陣，使（大于）.√ 成為正定矩陣的必要條件：；.bb s.k aoy a o m內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò) 線性代數(shù)復(fù)習(xí)小結(jié)概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識(shí)前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點(diǎn)，故考生應(yīng)充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號(hào)意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法，并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，抓聯(lián)系，使學(xué)知識(shí)能融會(huì)貫通，舉一反三，根據(jù)考試大綱的要求，這里再具體指出如下：行列式的重點(diǎn)是計(jì)算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計(jì)算出行列式的值。記得這個(gè)給我印象最深的是：在我們學(xué)C++編程時(shí)，有一道題是講的是用一百元錢去買母雞、公雞、小雞。像《線性代數(shù)》這門課程，在這一點(diǎn)就體現(xiàn)得很突出。否則這一塊的知識(shí)沒有辦法開展。在這門課程給我的感觸就是：這門課告訴我們?nèi)绾稳W(xué)知識(shí)的方法。標(biāo)簽: 線性代數(shù)總結(jié).學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)2009年06月14日 星期日 上午 11:12學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)線性代數(shù)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)學(xué)完了，但我認(rèn)為我們的學(xué)習(xí)并沒有因此而結(jié)束。4．實(shí)對(duì)稱矩陣及其相似對(duì)角化階實(shí)對(duì)稱矩陣 必可正交相似于對(duì)角陣，即有正交矩陣 使得，而且正交矩陣 由 對(duì)應(yīng)的 個(gè)正交的單位特征向量組成。四、特征值與特征向量相對(duì)于前兩章來說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)。2）向量組線性無關(guān)243。 的行列向量組均線性無關(guān)243。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”，向量組 組成的矩陣 有 說明向量組的極大線性無關(guān)組中有 個(gè)向量，即 線性無關(guān)，也即等式 只有零解。解線性方程組可以看作是出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)。二、行列式與矩陣第一章《行列式》、第二章《矩陣》是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。如矩陣部分涉及到了各種類型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多。矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、的性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質(zhì)、初等矩陣的性質(zhì)等。齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解；②有非零解。3）非齊次線性方程組與線性表示的聯(lián)系非齊次線性方程組 是否有解對(duì)應(yīng)于向量 是否可由 的列向量組 線性表示，即使等式 成立的一組數(shù) 就是非齊次線性方程組 的解。 的列向量組線性無關(guān)243。2．向量組線性表示與等價(jià)的有關(guān)結(jié)論：1）一個(gè)線性無關(guān)的向量組不可能由一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)比它少的向量組線性表示。常用到下列性質(zhì)：若 階矩陣 有 個(gè)特征值，則有 ；若矩陣 有特征值，則、分別有特征值、且對(duì)應(yīng)特征向量等于 所對(duì)應(yīng)的特征向量； 2．相似矩陣及其性質(zhì)定義式為，此時(shí)滿足、并且、有相同的特征值。因?yàn)椋坏袛嗑仃嚨南嗨茖?duì)角化時(shí)要用到特征值和特征向量，而且 中的、也分別是由 的特征向量和特征值決定的。同時(shí)隨著計(jì)算機(jī)及其應(yīng)用技術(shù)的飛速發(fā)展，很多實(shí)際問題得以離散化而得到定量的解決。不過我認(rèn)為學(xué)習(xí)好自己的專業(yè)的知識(shí)，掌握專業(yè)技能是每個(gè)大學(xué)生的天職。但是對(duì)于我們的課本知識(shí)非常得有用，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在所學(xué)的課本知識(shí)。只有掌握了這部分，我們才能在以后學(xué)習(xí)或者生活中遇到相似的問題，就有了這個(gè)工具去為我們解決實(shí)際的問題。這就說明學(xué)習(xí)知識(shí)總會(huì)有用的，只要我們?nèi)シe累，只要我們現(xiàn)在把基礎(chǔ)打牢，我相信以后解決問題的方法多了，大腦用活了，我們的競(jìng)爭(zhēng)力就強(qiáng)了，自然在社會(huì)上有一席之地。關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無關(guān)），線性表出等問題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無關(guān)）的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化及正交變換相似于對(duì)角陣，反過來，可由A 的特征值，特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對(duì)稱陣，利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，有時(shí)還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出A。二、注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識(shí)要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力?！毒€性代數(shù)》是一門研究線性問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，線性代數(shù)實(shí)質(zhì)上是提供了自己獨(dú)特的語言和方法，將那些涉及多變量的問題組織起來并進(jìn)行分析研究，是將中學(xué)一元代數(shù)推廣為處理大的數(shù)組的一門代數(shù)。線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問自己做得對(duì)不對(duì)？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。|B|（3）|AT|=|A|（4）|A1|=|A|1（5）|A*|=|A|n1（6）若A的特征值λλ……λn，則（7）若A與B相似，則|A|=|B|（五）克萊姆法則1克萊姆法則：（1）非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，那么方程為唯一解（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個(gè)不同解，則它的系數(shù)行列式必為0（3）若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。（B）（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}（4）r（kA）=r（A）（k≠0）（5）r（A）=r（AC）（C是一個(gè)可逆矩陣）（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）（7）設(shè)A是mn階矩陣，B是ns矩陣，AB=O，則r（A）+r（B）≤n1秩的求法：（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；（2）A為數(shù)字矩陣：A→初等行變換→階梯型（每行第一個(gè)非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數(shù)（五）伴隨矩陣1伴隨矩陣的性質(zhì)：（8條）（1）AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A1（2）（kA）*=kn1A*（3）（AB）*=B*A*（4）|A*|=|A|n1（5）（AT）*=（A*）T（6）（A1）*=（A*）1=A|A|1（7）（A*）*=|A|n2←→r（β1，β2，β3）=3←→r（C）=3←→|C|≠0（四）極大線性無關(guān)組與向量組的秩1極大線性無關(guān)組不唯一1向量組的秩:極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)成為向量組的秩對(duì)比：矩陣的秩:非零子式的最高階數(shù)★注:向量組α1，α2，…，αs的秩與矩陣A=（α1，α2，…，αs）的秩相等★1極大線性無關(guān)組的求法（1）α1，α2，…，αs為抽象的：定義法（2）α1，α2，…，αs為數(shù)字的：（α1，α2，…，αs）→初等行變換→階梯型矩陣則每行第一個(gè)非零的數(shù)對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無關(guān)組（五）向量空間1基（就是極大線性無關(guān)組）變換公式：若α1，α2，…，αn與β1，β2，…，βn是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cnn其中，C是從基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的過渡矩陣。|λEA|=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）。（二）慣性定理及規(guī)范形定義：正慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為正慣性指數(shù)，記為p；負(fù)慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)，記為q；規(guī)范形：f=z12+…zp2zp+12…zp+q2稱為二次型的規(guī)范形。 n階可逆矩陣的行簡(jiǎn)化階梯陣一定是單位矩陣。在Rn中，基、坐標(biāo)、基變換公式，坐標(biāo)變換公式，過渡矩陣，線性無關(guān)向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化公式，應(yīng)該概念清楚，計(jì)算熟練，當(dāng)然在計(jì)算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡(jiǎn)，后代入具體的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。在此，我就從老師教學(xué)和自身學(xué)習(xí)方面，談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)體會(huì)。而不需全部包攬。我們對(duì)向量組的線性相關(guān)性的討論，還有對(duì)矩陣的秩，向量組的秩的計(jì)算，都是為了了解線性方程組的解的情況。知識(shí)體系是一環(huán)扣一環(huán)，環(huán)環(huán)相連的。