【正文】 34。233。235。234。01234。201k11k11249。1234。,a2,L,as的秩為r且其中每個(gè)向量都可經(jīng)a1,a2,L,：a1,a2,L,ar為a1,a2,L,as的一個(gè)極大線性無關(guān)組.【證明】若a1,a2,L,ar(1)線性相關(guān)，且不妨設(shè)a1,a2,L,at(t(2)是(1)的一個(gè)極大無關(guān)組，則顯然（2）是a1,a2,L,as的一個(gè)極大無關(guān)組，這與a1,a2,L,as的秩為r矛盾，故a1,a2,L,ar必線性無關(guān)且為a1,a2,L,=(1,1,1,k),a2=(1,1,k,1),a3=(1,2,1,1)的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.【解】把a(bǔ)1,a2,a3按列排成矩陣A，=234。247。0247。1231。39。k==k2=k3=0,即a1,a1+a2,a1+a2+，向量組a1=(1,2,3),a2=(3,1,2),a3=(2,3,a)39。 237。(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,1),α3=(2,0,3,1,3),α4=(1,1,0,4,1).解：（1）線性無關(guān)；（2）線性相關(guān)；（3）線性無關(guān)；（4）,α２,α3線性無關(guān)，證明：α１，α１+α２，α１+α２+：設(shè)k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0，即(k1+k2+k3)a1+(k2+k3)a2+k3a3=,a2,a3線性無關(guān)，有236。(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3)。m知，rankA=m,故A的行向量組線性無關(guān)。02222．由m=rankEm=rank(AB)163。3．f=1為橢圓柱面八．1．由AT=A*知，aij=Aij，其中Aij是detA中元素aij的代數(shù)余子式；又A是非零實(shí)矩陣，不防設(shè)A中ai0j0185。247。232。247。23247。247。247。1247。230。247。232。231。6232。x247。=231。12．正交變換231。247。231。6230。六．1．由Ax=lx,得a=3,b=0,l=1；2．－1是A的三重特征值，而對(duì)應(yīng)－1只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而A不能相似對(duì)于角矩陣、七．1．t＝3；230。2．a(chǎn)在基（Ⅱ）下的坐標(biāo)為（3，10，9，0）。232。231。231。C＝231。8－421231。231。四．1．由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣為230。232。231。三．231。231。二．（－1）n(n1)21 n1(n+1)230。n和An180。若AT=A*,試證：detA185。1．求參數(shù)t；2．用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換； 3．指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何種二次曲面。1．求a,b之值及特征向量x所對(duì)應(yīng)的特征值； 2．A能否與對(duì)角矩陣相似？說明理由。1b2234。x=(1,1,1)234。233。2組（Ⅱ）的通解為k1(0,1,1,0)T+k2(1,2,2,1)T。x1+x2=0五．（13分）設(shè)四元齊次線性方程組（Ⅰ）為237。b2+2b3=a41．求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣C：2．求向量a=a1+2a2+3a3+4a4在基（Ⅱ）下的坐標(biāo)。b1+2b2=a3 237。a+2a=b34238。四．（10分）設(shè)四維向量空間V的兩個(gè)基（Ⅰ）：（Ⅱ）：b1,b2,b3,b4a1,a2,a3,a4和滿足236。301234。234。L1求detA1233。L11n1n249。1n234。M234。11234。二．（10分）已知n階方陣1233。（c）a1+a2,a2+a3,a1+2a2+a3。（b）存在可逆矩陣P,使P1AP=B；（c）存在可逆矩陣P和Q,使PAQ=B（d）存在可逆矩陣C，使CTAC=B4．設(shè)向量a1，a2，a3線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（a）a1+a2,a2+a3,a3a1。235。B為三階非零矩陣，且AB=0,則4a11．設(shè)A=234。122249。248。247。11247。（2）A*=AA1222。A*=An1185。0，由AA*=AE222。得到R(a1,a2,a3)=3，而R(a1,a2,a3,b)=4 所以b不能被a1,a2,a3線性表示。002811247。231。231。232。1037247。247。231。231。230。~231。01911246。02230。1231。231。7232。0231。231。232。231。247。247。051,a2,3,b=)231。05274247。01(aa7563247。0312246。2358246。參考答案：230。1247。231。2247。231。3247。231。3247。0247。1247。247。232。247。247。247。7247。247。231。247。,a231。7247。247。b=231。230。230。2246。230。8246。x4=,a2,a3線性表出，若能寫出它的一種表示法．230。x3=1239。當(dāng)a=0, b = －2時(shí)有無窮解解237。x1=1k2239。不存在唯一解的情況。0或b185。000b+2248。000a247。247。232。232。231。231。231。231。231。231。231。231。230。230。232。B=231。1222231。238。x+xx+3x=a234239。x2x3x4=1239。2222因?yàn)锳2=A，因此l2l=0，得到：l=0,1（題目好像有問題）、b取何值時(shí)，下列線性方程組無解、有唯一解、有無窮多解？有解時(shí)，求其解．236。所以B1－m1m1111m111=（P1AP）=P1A（P1）－得到A1～B1=A，證明：A的特征值只能為0或1。二．計(jì)算題或證明題～B,試證明－－(1)Am～Bm(m為正整數(shù))（2）如A可逆，則B也可逆，且A1～B11參考答案：（1）因?yàn)锳～B，則存在B=PAP。232。232。232。232。231。231。231。．231。；（D）231。；（C）231。；（B）231。（A）231。231。231。231。231。230。230。230。(D)=（B）時(shí)，有230。． c3247。247。232。c3247。=231。231。(C)a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4a1線性無關(guān)。(d)a=b=1,c=,a2,a3,a4線性無關(guān)，則向量組（A）(A)(B)a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1線性無關(guān)。(b)a=b=c=1。0c248。 247。ab246。231。a1a2,a2a3,a3a1。（A）k=0或k=1；（B）k=1或k=2；（C）k=1或k=1；（D）k=1或k=3． ，B，C，I為同階矩陣，若ABC=I，則下列各式中總是成立的有（A）．（A）BCA=I；(B)ACB=I；(C)BAC=I；(D)CBA=I． ，B，C為同階矩陣，且A可逆，下式（A）必成立．（A）若AB=AC，則B=C；(B)若AB=CB，則A=C；(C)若AC=BC，則A=B；(D)若BC=O，則B=O． ,a2,....,as的秩為r，則（D）（A）必定r(D)向量組中任意個(gè)r+1向量必定線性相關(guān),a2,a3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（C）(A)a1+a2,a2+a3,a3+a1。4y+z=0有非零解，則（D）． 239。第一篇：線性代數(shù)C答案線性代數(shù)模擬題一．=m，依下列次序?qū)ij進(jìn)行變換后，其結(jié)果是（A）． 交換第一行與第五行，再轉(zhuǎn)置，用2乘所有的元素，再用3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．（A）8m；(B)3m；(C)8m；(D)1m． 4236。3x+kyz=0239。kx5yz=0238。(B)a1,a1+a2,a3+a2+a1。(D)a1+a2,2a2+a3,3a3+a1.(C)、B為n階矩陣，且A與B相似，I為n階單位矩陣，則（D）(a)λIA＝λIB(b)A與B有相同的特征值和特征向量(c)A與B都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣(d)kIA與kIB相似（k是常數(shù)）（C）時(shí)，A為正交矩陣，其中 A=231。230。247。232。(a)a=1,b=2,c=3。(c)a=1,b=0,c=1。a1a2,a2a3,a3a4,a4a1線性無關(guān)。a1+a2,a2+a3,a3a4,247。b3247。b1231。248。c1a23c2b2c2a33c3246。b3247。248。100246。103246。003246。100246。247。247。247。247。010247。010247。010247。010247。301247。001247。101247。031247。248。248。248。248。（PAP）=（PAP）（PAP）…（PAP）=PAP 所以B=得到Am～Bm1（2）因?yàn)锳～B，則存在B=PAP。參考答案：設(shè)Ax=lx,則有Ax=lx,兩式相減得到，（AA）x=(ll)x。x1+2x22x3+2x4=1239。237。1239。x1x2+x3+5x4=b參考答案：對(duì)增廣矩陣B=（A，b）作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，有230。0111231。1113231。11151246。12221246。1247。247。1247。01111247。0~~a247。0111a1247。0247。247。b248。0333b1248。02221246。1111247。247。所以當(dāng)a185。2時(shí)，方程組無解。236。x=1+k+k239。212k239。238。231。247。231。247。3246。5246。3231。a=231。231。5247。231。6247。 231。1231。2=231。,a3=231。231。10247。231。231。231。248。232。248。232。248。232。248。231。230。2230。231。6231。231。~231。~231。1037247。3211247。248。103247。02101247。248。10232。231。037246。00729247。1911247。247。1231。231。~00729247。002811247。248。0232。248。，則A的伴隨矩陣A*也可逆，并求出A*的逆矩陣． 參考答案：證明：（1）方陣A可逆，得到A185。A*=AA1222。0，得到A*可逆。(A*)1=(AA1)1=1AA927310246。46247。7247。11第二篇：線性代數(shù)模擬試題C及答案模擬試題C 一．填空或選擇填空（每小題4分）233。a= 234。234。3112．已知二次型f=2x15x25x34x1x2+4x1x3+2tx2x3經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f=y1y210y3，則t=3．設(shè)A,B均為n階可逆矩陣，則下列結(jié)論成立的是（a）AB=BA。（b）a1+a2,a2+a3,a1+a2+a3。（d）a1a2,a2a3,．設(shè)m個(gè)方程的n次齊次線性方程組為Ax=b，且rankA=r則下列結(jié)論中正確的是（a）r=n時(shí)，Ax=b有唯一解；（b）m=n時(shí)，Ax=b有唯一解；Ax=b有無窮多解；（c）rn時(shí)，222222（d）r=m時(shí)，Ax=b有解。1234。MA=234。234。235。Ln1MML11101249。滿足BA2E=B2A2,求矩陣B 020三．（10分）已知A=234。235。a1+2a2=b3237。2236。238。236。又知一齊次線性方程xx=04238。1．求線性方程組（Ⅰ）的基礎(chǔ)解系及通解；2．問線性方程組（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，則求出所有的非零公共解；若沒有，則說明理由。212249。的一個(gè)特征向量為T5a3六．（13分）已知矩陣A=234。235。七．（15分）已知二次型f(x1,x2,x3)=5x1+5x2+tx32x1x2+6x1x36x2x3的秩為2。222八．（9分）設(shè)A是n非零實(shí)矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*是A的伴隨矩陣。0設(shè)有矩陣Am180。m，且m答案一、1．－1；2．4；3．（c）；4．（b）；5．（d）。402246。247。040247。604247。248。4－210246。247。247。1002247。247。－2100247。248。五．見例4－14。1231。x1246。231。231。x2247。231。231。3248。2231。6121201246。3247。y1246。231。22y化二次型為f=4y+9y231。23； 247。231。1247。y3248。3248。0，將A按第i0行展開，得detA=ai01Ai01+L+ai0j0Aioj0+L+ai0nAi0n=ai01+L+ai0j0+L+ai0n185。rankA163。第三篇：線性代數(shù)習(xí)題答案習(xí)題 三（A類）＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1α2及3α1+：α1α2=(1,1,0)(0,1,1)=(1,0,1),3α1+2α2α3=(3,3,0)+(0,2,2)(3,4,0)=(0,1,2)(α1α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，1，1).：由3（α1α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α25α3),即α=(6,12,18,24)=(1,2,3,4)3.（1）（2）（3）√（4）（5）.（1）α1=(2,5), α2=(1,3)。(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,3,2),α3=(1,0,1,2)。k1+k2+k3=0,239。k2+k3=0,239。39。線性相關(guān)，并將a3用a1,=7(5a),當(dāng)a=5時(shí)，a3=a117解：A=23a1+(1，0，1，0)和(1，1，0，0)：因向量(1,0,0,0)與（1,0,1,0）和(1,1,0,0)線性無關(guān), 所以(1,0,0,0)可作為方陣的一個(gè)行向量，因（1,0,0,1）與(1,0,1,0)，（1，1，0，0），（1，0，0，230。10）線性無關(guān)，所以(1,0,0,1)247。.0247。1248。234。235。233。234。174。234。101249。1010234。0k10234。235。233。