【正文】 6． 已知矩陣1 1 2 2 22 0 1 1 21 1 0 2 42 1 1 2 3A?????? ??????，求矩陣 A 的秩及列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組 . 7． 已知 2 1 10 2 04 1 3A?????????，求可逆陣 P，使得 1PAP? 為對(duì)角陣 . 四、證明題 （本題總計(jì) 10 分） 設(shè) ? 為非齊次線(xiàn)性方程組 Ax b? 的一個(gè)解，12,r? ? ? 為對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性 方程組的基礎(chǔ)解系 .試證：向量組 12, , , , r? ? ? ? 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 (10 分 ) (試卷二 ) 一、填空題 （本題總計(jì) 20 分，每小題 2 分） 1. 排列 6573412 的逆序數(shù)是 ． ()fx? 2 1 112xx x xx??? 中 3x 的系數(shù)是 ． 3．設(shè)三階方陣 A 的行列式 3A? ,則 *1()A? = A/3 ． 4． n 元齊次線(xiàn)性方程組 AX=0 有非零解的充要條件是 ． 5 ．設(shè)向量 (1, 2, 1)T?? ? ?， ? =???????????22? 正交，則?? ． 6．三階方陣 A 的特征值為 1， 1? ， 2，則A＝ ． 7. 設(shè) 1 1 2 10 2 10 0 3A ????????????，則 _________A? ? . 8. 設(shè) A 為 86? 的矩陣，已知它的秩為 4，則以 9 A 為系數(shù)矩陣的齊次線(xiàn)性方程組的解空間維數(shù)為 _____________． 9 ．設(shè) A 為 n 階方陣，且 A＝ 2 則1*1()3 AA?? ? ? ． 10 ． 已 知 2 0 0223 1 1Ax????????相 似 于 1 2By????????，則?x ， ?y ． 二、選擇題 （本題總計(jì) 10 分，每小題 2 分） 1. 設(shè) n 階矩陣 A 的行列式等于 D ，則 A－ 5 等于 ． (A) ( 5)nD? (B)5D (C) 5D (D) 1( 5)n D?? 2. n 階方陣 A 與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是 . (A) 矩陣 A 有 n 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量 (B) 矩陣 A 有 n 個(gè)特征值 (C) 矩陣 A 的行列式 0A? (D) 矩陣 A 的特征方程沒(méi)有重根 3． A 為 mn? 矩陣，則非齊次線(xiàn)性方程組 AX b? 有唯一解的充要條件是 ． 10 (A) ( , )R Ab m? (B) ()RA m? (C) ( ) ( , )R A R A b n?? (D) ( ) ( , )R A R A b n?? A 能由向量組 B 線(xiàn)性表示，則( ) (A)． )()( ARBR ? (B)． )()( ARBR ? (C)． )()( ARBR ? (D)． )()( ARBR ? 5. 向量組 12, , , s? ? ? 線(xiàn)性相關(guān)且秩為 r，則 ． (A)rs? (B) rs? (C) rs? (D) sr? 三、計(jì)算題 （本題總計(jì) 60 分，每小題 10 分） 1. 計(jì)算 n階行列式 : 22221??D 22222? 22322? ?????? 21222?n? n2222? . 2． 已知矩陣方程 AX A X?? ，求矩陣 X ,其中 11 2 2 02 1 30 1 0A???????. 3. 設(shè) n 階方陣 A 滿(mǎn)足 0422 ??? EAA ,證明 3AE? 可逆，并求 1( 3 )AE?? . 4． 求下列非齊次線(xiàn)性方程組的通解及所對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系 : 1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 3 4232 3 8 83 2 9 52 3 4x x x xx x x xx x x xx x x? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 5． 求下列向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組 ,并將其余向量用最大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示 ． 1 2 3 42 1 2 34 , 1 , 3 , 5 .2 0 1 2? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 6 ． 已 知 二 次 型 ：323121232221321 844552),( xxxxxxxxxxxxf ??????， 用正交變換化 ),( 321 xxxf 為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出其正交變換矩陣 Q． 四、證明題 （本題總計(jì) 10 分，每小題 10 分） 設(shè) 11ba? , 2 1 2b a a?? , , 12rrb a a a? ? ? ?, 且向量 12 組 raaa , 21 ? 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，證明向量組 rbbb , 21 ? 線(xiàn)性無(wú)關(guān) . (答案二 ) 一、填空題 （本題總計(jì) 20 分，每小題 2 分） 1. 17 2. 2 3． 13A 4． ()RA n? 5． 2??? 6． 27． 116A? 或1 2 110 2 160 0 3??????????8． 2 21n）（－ 2,0 ??? yx 二、選擇題 （本題總計(jì) 10 分，每小題 2 分） 1. A 2. A 5. B 三、計(jì)算題 （本題總計(jì) 60 分， 每小題 10 分 ） 解： D ),4,3(2 nirri ???00021? 00022? 00122? ?????? 03022?n? 20022?n? 4 分 12 2rr? 00001? 00022?? 00122?? ?????? 03022??n? 20022??n? 7 分 )!2(2)2()3(21)2(1 ????????????? nnn? 10 分（此題的方法不唯一，可以酌情給分。這與已知條件 ? 為bAX? ? ?0?b 的一個(gè)解相矛盾。） 解：特征方程 21 1 04 3 0 ( 2) ( 1 )1 0 2AE?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? 從而1 2 32, 1? ? ?? ? ? (4 分 ) 當(dāng) 1 2?? 時(shí)，由 ( 2 ) 0A E X??得基礎(chǔ)解系 1 (0,0,1)T? ? ，即對(duì)應(yīng)于 1 2??的全部特征向量為 11k? 1( 0)k? (7分 ) 當(dāng) 231????時(shí)，由 ( ) 0A E X??得基礎(chǔ)解系 2 ( 1, 2,1)T? ? ? ? ，即對(duì)應(yīng)于 231????的全部特征向量為 22k? 2( 0)k ? 四、證明題 （本題總計(jì) 10 分） 證： 由 12, nr? ? ? ? 為對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程組 0?AX 的基礎(chǔ)解系，則 12, nr? ? ? ? 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。） 解；???????????21111111),(?????bA131231rrrrrr????????