線性代數期末試題(參考版)
2025-01-12 10:36本頁面
【正文】 對任意的 n 維向量 0?? ，由 ? ? nAR ?得 0??A ， ? ??? AATT = 2?A 0? ，由定義知 AAT 是正定矩陣。 2． AAT 為正定矩陣。 五、 1． BAAB? 為對稱矩陣。 （ 3） EA 3? 的特征值為 2， 5， 1， 1。 （ 2）能相似對角化。 5 ． 解 ：（ 1 ）由 02 ???? AEAE 知 1 ， 2 為 A 的特征值。 再將 ? ?1 2 1 0T? ?? ， ? ?2 2 0 1 T? ? 正交化為 ? ?1 2 1 0Tp ?? ，2 24 155Tp ??? ????。 解方程組 ( 2 ) 0A E x??，得對應于特征值為 122????的兩個線性無關的特征向量 ? ?1 2 1 0 T? ?? ， ? ?2 2 0 1 T? ? 。二次型的矩陣 1 2 22 2 42 4 2A?????? ? ??????，21 2 2| | 2 2 4 ( 2) ( 7 )2 4 2AE?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ??? 因此得到其特征值為 122????， 3 7??? 。求通解的方法與解法一相同。 2221 1 1 1 1 1 1 1 1( | ) 1 1 2 1 0 2 2 0 0 2 2 01 1 0 1 1 1 10 0 ( 1 ) ( 4 ) 12a a aA b a aa a a a a a a a????? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???由于該方程組有無窮多解，得 ( ) ( | ) 3R A R A b??。分別求出其導出組的一個基礎解系 13122T???????，原方程組的一個特解 ? ?1 0 0 T? ，故 1??a 時，方程組有無窮多解，其通解為 ? ? 131 0 0 122TT k ????? ????， 當 4?a 時增廣矩陣1 1 4 1( | ) 1 1 2 11 4 1 1 6Ab?????? ? ? ??????1 40 2 2 00 0 0 1 5???????????，( ) 2 ( | ) 3R A R A b? ? ?，此時方程組無解。即 1??a 或 4?a 。 2．解： ????????????????????????1111111111111111TA ??， AA 42 ?? ， 6 ? ? ? ?11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4nnn T T T T T T T TAA?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
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