【正文】 解 此矩陣的第一個(gè)行向量非單位向量, 故不是正交陣. (2). 解 該方陣每一個(gè)行向量均是單位向量, 且兩兩正交, 故為正交陣. 3. 設(shè)x為n維列向量, xT。V1. 37. 試證: 由a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 0, 1)T, a3=(1, 1, 0)T所生成的向量空間就是R3.證明　 設(shè)A=(a1, a2, a3), 由 ,知R(A)=3, 故a1, a2, a3線性無關(guān), 所以a1, a2, a3是三維空間R3的一組基, 因此由a1, a2, a3所生成的向量空間就是R3. 38. 由a1=(1, 1, 0, 0)T, a2=(1, 0, 1, 1)T所生成的向量空間記作V1,由b1=(2, 1, 3, 3)T, b2=(0, 1, 1, 1)T所生成的向量空間記作V2, 試證V1=V2. 證明 設(shè)A=(a1, a2), B=(b1, b2). 顯然R(A)=R(B)=2, 又由 , 知R(A, B)=2, 所以R(A)=R(B)=R(A, B), 從而向量組a1, a2與向量組b1, b2等價(jià). 因?yàn)橄蛄拷Ma1, a2與向量組b1, b2等價(jià), 所以這兩個(gè)向量組所生成的向量空間相同, 即V1=V2. 39. 驗(yàn)證a1=(1, 1, 0)T, a2=(2, 1, 3)T, a3=(3, 1, 2)T為R3的一個(gè)基, 并把v1=(5, 0, 7)T, v2=(9, 8, 13)T用這個(gè)基線性表示. 解 設(shè)A=(a1, a2, a3). 由,知R(A)=3, 故a1, a2, a3線性無關(guān), 所以a1, a2, a3為R3的一個(gè)基. 設(shè)x1a1+x2a2+x3a3=v1, 則,解之得x1=2, x2=3, x3=1, 故線性表示為v1=2a1+3a2a3. 設(shè)x1a1+x2a2+x3a3=v2, 則,解之得x1=3, x2=3, x3=2, 故線性表示為v2=3a13a22a3. 40. 已知R3的兩個(gè)基為 a1=(1, 1, 1)T, a2=(1, 0, 1)T, a3=(1, 0, 1)T, b1=(1, 2, 1)T, b2=(2, 3, 4)T, b3=(3, 4, 3)T.求由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的過渡矩陣P. 解 設(shè)e1, e2, e3是三維單位坐標(biāo)向量組, 則 , , 于是 ,由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的過渡矩陣為 . 第五章 相似矩陣及二次型 1. 試用施密特法把下列向量組正交化: (1)。V1, b=(b1, b2, , bn)T 206。V1, la=(la1, la2, , lan)T 206。206。V1, b=(b1, b2, , bn)T 206。R滿足x1+x2+ +xn=0},V2={x=(x1, x2, , xn)T | x1, , xn206。R. 33. 設(shè)h*是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)解, x1, x2, , xnr ,是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系, 證明: (1)h*, x1, x2, , xnr線性無關(guān)。R. 31. 設(shè)a=(a1, a2, a3)T, b=(b1, b2, b3)T, c=(c1, c2, c3)T, 證明三直線 l1: a1x+b1y+c1=0, l2: a2x+b2y+c2=0, (ai2+bi2185。4時(shí), R(A)=R(A, b)=3, 此時(shí)向量組a1, a2, a3線性無關(guān), 而向量組a1, a2, a3, b線性相關(guān), 故向量b能由向量組A線性表示, 且表示式唯一. (3)當(dāng)a=4, b=0時(shí), R(A)=R(A, b)=2, 此時(shí)向量b能由向量組A線性表示, 且表示式不唯一. 當(dāng)a=4, b=0時(shí), 方程組(a3, a2, a1)x=b的解為 , c206。0時(shí), R(A)185。 (2)向量b能由向量組A線性表示, 且表示式唯一。 解 對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換, 有. 與所給方程組同解的方程為. 當(dāng)x3=0時(shí), 得所給方程組的一個(gè)解h=(8, 13, 0, 2)T. 與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為. 當(dāng)x3=1時(shí), 得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系x=(1, 1, 1, 0)T. (2). 解 對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換, 有 . 與所給方程組同解的方程為. 當(dāng)x3=x4=0時(shí), 得所給方程組的一個(gè)解h=(1, 2, 0, 0)T. 與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為. 分別取(x3, x4)T=(1, 0)T, (0, 1)T, 得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系x1=(9, 1, 7, 0)T. x2=(1, 1, 0, 2)T. 29. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3, 已知h1, h2, h3是它的三個(gè)解向量. 且h1=(2, 3, 4, 5)T, h2+h3=(1, 2, 3, 4)T,求該方程組的通解. 解 由于方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)是4, 系數(shù)矩陣的秩為3, 所以對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)向量, 且由于h1, h2, h3均為方程組的解, 由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得2h1(h2+h3)=(h1h2)+(h1h3)= (3, 4, 5, 6)T為其基礎(chǔ)解系向量, 故此方程組的通解: x=k(3, 4, 5, 6)T+(2, 3, 4, 5)T, (k206。0, 所以R(A*)=n. 當(dāng)R(A)=n1時(shí), |A|=0, 故有 AA*=|A|E=0,即A*的列向量都是方程組Ax=0的解. 因?yàn)镽(A)=n1, 所以方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中只含一個(gè)解向量, 即基礎(chǔ)解系的秩為1. 因此R(A*)=1. 當(dāng)R(A)163。0, 故有 |AA*|=||A|E|=|A|185。R(A+EA)=R(E)=n,由此R(A)+R(AE)=n. 27. 設(shè)A為n階矩陣(n179。R. 26. 設(shè)n階矩陣A滿足A2=A, E為n階單位矩陣, 證明R(A)+R(AE)=n. 證明 因?yàn)锳(AE)=A2A=AA=0, 所以R(A)+R(AE)163。 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(1, 1)T. 因此方程I的基礎(chǔ)解系為 x1=(0, 0, 1, 0)T, x2=(1, 1, 0, 1)T. 由方程II得. 取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T。R), 消去k1, k2得,此即所求的齊次線性方程組. 25. 設(shè)四元齊次線性方程組 I: , II: . 求: (1)方程I與II的基礎(chǔ)解系。2矩陣B, 使AB=0, 且R(B)=2. 解 顯然B的兩個(gè)列向量應(yīng)是方程組AB=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解. 因?yàn)? , 所以與方程組AB=0同解方程組為 . 取(x3, x4)T=(8, 0)T, 得(x1, x2)T=(1, 5)T。 。 取(x3, x4)T=(0, 19)T, 得(x1, x2)T=(1, 7)T. 因此方程組的基礎(chǔ)解系為 x1=(2, 14, 19, 0)T, x2=(1, 7, 0, 19)T. (3)nx1 +(n1)x2+ +2xn1+xn=0. 解 原方程組即為xn=nx1(n1)x2 2xn1. 取x1=1, x2=x3= =xn1=0, 得xn=n。 解　對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)T=(4, 0)T, 得(x1, x2)T=(16, 3)T。 解 因?yàn)? AP=A(x, Ax, A2x) =(Ax, A2x, A3x) =(Ax, A2x, 3AxA2x) , 所以. (2)求|A|. 解 由A3x=3AxA2x, 得A(3xAxA2x)=0. 因?yàn)閤, Ax, A2x線性無關(guān), 故3xAxA2x185。min{r, s}163。min{R(A), R(K)}163。0, lk+1=lk+2= =lm=0,于是 l1a1+l2a2+ +lkak=0,ak=(1/lk)(l1a1+l2a2+ +lk1ak1),即ak能由a1, a2, , ak1線性表示. 19. 設(shè)向量組B: b1, , br能由向量組A: a1, , as線性表示為(b1, , br)=(a1, , as)K, 其中K為s180。k163。m), 使ak能由a1, a2, , ak1線性表示. 證明 因?yàn)閍1, a2, , am線性相關(guān), 所以存在不全為零的數(shù)l1, l2, , lm, 使l1a1+l2a2+ +lmam=0,而且l2, l3, , lm不全為零. 這是因?yàn)? 如若不然, 則l1a1=0, 由a1185。0, 證明存在某個(gè)向量ak (2163。R(a1, a2, , an)163。R(a1, a2, , an),而R(e1, e2, , en)=n, R(a1, a2, , an)163。 解 因?yàn)?所以第3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組. (2). 解 因?yàn)?所以第3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組. 15. 設(shè)向量組(a, 3, 1)T, (2, b, 3)T, (1, 2, 1)T, (2, 3, 1)T的秩為2, 求a, b. 解 設(shè)a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2, 3, 1)T. 因?yàn)? 而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5. 16. 設(shè)a1, a2, , an是一組n維向量, 已知n維單位坐標(biāo)向量e1, e2, , en能由它們線性表示, 證明a1, a2, , an線性無關(guān). 證法一 記A=(a1, a2, , an), E=(e1, e2, , en). 由已知條件知, 存在矩陣K, 使E=AK. 兩邊取行列式, 得|E|=|A||K|.可見|A|185。0, K可逆, 所以R(B)=R(A)=r, 從而向量組b1, b2, , br線性無關(guān). 13. 求下列向量組的秩, 并求一個(gè)最大無關(guān)組: (1)a1=(1, 2, 1, 4)T, a2=(9, 100, 10, 4)T, a3=(2, 4, 2, 8)T。l1=(3/4)l2,222。R. 9. 設(shè)a1, a2線性相關(guān), b1, b2也線性相關(guān), 問a1+b1, a2+b2是否一定線性相關(guān)？試舉例說明之. 解 不一定. 例如, 當(dāng)a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(1, 1)T, b2=(0, 0)T時(shí), 有 a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T, 而a1+b1, a2+b2的對應(yīng)分量不成比例, 是線性無關(guān)的. 10. 舉例說明下列各命題是錯(cuò)誤的: (1)若向量組a1, a2, , am是線性相關(guān)的, 則a1可由a2, , am線性表示. 解 設(shè)a1=e1=(1, 0, 0, , 0), a2=a3= =am=0, 則a1, a2, , am線性相關(guān), 但a1不能由a2, , am線性表示. (2)若有不全為0的數(shù)l1, l2, , lm使l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm=0成立, 則a1, a2, , am線性相關(guān), b1, b2, , bm亦線性相關(guān). 解 有不全為零的數(shù)l1, l2, , lm使l1a1+ +lmam +l1b1+ +lmbm =0,原式可化為l1(a1+b1)+ +lm(am+bm)=0. 取a1=e1=b1, a2=e2=b2, , am=em=bm, 其中e1, e2, , em為單位坐標(biāo)向量, 則上式成立, 而a1, a2, , am和b1, b2,