【正文】 0( 1 ) ( 2 ) ( 3 )( 1 ) ( 2 ) ( 3 )a a a ab b b bc c c cd d d d? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?； (3) 2 3 22 3 22 3 2111 ( ) 1a a a ab b a b b c c a b bc c c c? ? ? (4) 20000()00nnababD ad bccdcd? ? ?； (5) 121 11 1 11 1 1 111 1 1nnii iinaa aaa? ??? ?????????? ?. 【證明】 (1) 1323223( ) ( ) ( )2( ) 20 0 1( ) ( ) ( )( ) ( )2( ) 2 1cccca b a b b a b ba b a b ba b a b b a b a b ba b a ba b a b??? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ???左 端右 端 . (2) 32213 1 4 2412223222 1 4 4 6 9 2 1 2 62 1 4 4 6 9 2 1 2 6 02 1 4 4 6 9 2 1 2 62 1 4 4 6 9 2 1 2 6ccccc c c ccca a a a a ab b b b b bc c c c c cd d d d d d???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?左 端 右 端 . (3) 首先考慮 4 階范德蒙行列式 : 2323232311( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * )11x x xa a af x x a x b x c a b a c b cb b bc c c? ? ? ? ? ? ? ? 從上面的 4 階范德蒙行列式知，多項式 f(x)的 x 的系數(shù)為 2221( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,11aaab bc ac a b a c b c ab bc ac bbcc? ? ? ? ? ? ? ? 但對（ *）式右端行列式按第一行展開知 x 的系數(shù)為兩者應(yīng)相等，故 2311 23231( 1) ,11aabbcc?? (4) 對 D2n 按第一行展開，得 22 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 )00000 0 0 0( ) ,nn n na b a ba b a bD a bc d c dc d c ddcad D bc D ad bc D? ? ???? ? ? ? ? ? 據(jù)此遞推下去，可得 22 2 ( 1 ) 2 ( 2 )112( ) ( )( ) ( ) ( )()n n nnnnD ad bc D ad bc Dad bc D ad bc ad bcad bc??? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 2 ( ) .nnD a d b c? ? ? (5) 對行列式的階數(shù) n 用數(shù)學(xué)歸納法 . 當(dāng) n=2 時，可直接驗算結(jié)論成立，假定對這樣的 n?1 階行列式結(jié)論成立，進而證明階數(shù)為 n 時結(jié)論也成立 . 按 Dn 的最后一列，把 Dn拆成兩個 n 階行列式相加： 112211 2 1 11 1 1 01 1 1 11 1 1 01 1 1 11 1 1 01 1 1 11 1 1.nnnn n naaaaDaaa a a a D???????????? 但由歸納假設(shè) 11 1 2 1 1 11 ,nnn i iD a a a a??? ????? ????? 從而有 11 2 1 1 2 111 2 111 1111111 .nn n n ni inn nn n iii iiiD a a a a a a a aa a a a aaa??????? ??????????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???? ? 8. 計算下列 n 階行列式 . (1) 111111nxxDx? (2) 1 2 2 22 2 2 22 2 3 2222nDn?； (3)0 0 00 0 00000 0 0nxyxyDxyyx?. (4)n ijDa?其中 ( , 1, 2 , , )ija i j i j n? ? ? ； (5)2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 00 0 0 2 10 0 0 1 2nD ?. 【解】 (1) 各行都加到第一行，再從第一行提出 x+(n?1),得 1 1 111[ ( 1 ) ] ,11nxD x nx? ? ? 將第一行乘（ ?1）后分別加到其余各行，得 11 1 11 1 0[ ( 1 ) ] ( 1 ) ( 1 ) .0 0 1nnxD x n x n xx??? ? ? ? ? ? ?? (2) 21311 1 2 2 2 21 0 0 0 01 0 1 0 01 0 0 2 01 0 0 0 2nrrn rrrrDn?????按第二行展開2 2 2 20 1 0 02( 2) ! .0 0 2 00 0 0 2nn? ? ? ?? (3) 行列式按第一列展開后，得 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )10 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0( 1 ) 0 0 00000 0 0 0 0 0( 1 )( 1 ) .nnn n nn n nx y yx y x yD x y xyxyy x x yx x y yxy?? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? (4)由題意，知 11 12 121 22 2120 1 2 11 0 1 22 1 0 31 2 3 0nnnn n nnna a ana a aD na a an n n???? ?? ? ? 0 1 2 2 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1nn??? ? ?? ? ????后 一 行 減 去 前 一 行 自 第 三 行 起 后 一 行 減 去 前 一 行 0 1 2 2 11 2 2 11 1 1 1 12 0 0 00 2 0 0 00 2 0 00 0 0 0 00 0 2 00 0 0 2 0nnnn????? ? ? ???按 第 一 列 展 開 1 1 22 0 00 2 01 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 20 0 2n n nn n n? ? ?? ? ? ? ?按 第 列 展 開 . (5) 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 01 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 00 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 00 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 10 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2nD ? ? ? 122 nnDD????. 即有 1 1 2 2 1 1n n n nD D D D D D? ? ?? ? ? ? ? ? ? 由 ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 1n n n nD D D D D D n? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 得 1 1 , 1 2 1nnD D n D n n? ? ? ? ? ? ? ?. 9. 計算 n 階行列式 . 121212111nnnna a aa a aDa a a???? 【解】各列都加到第一列，再從第一列提出11nii a???，得 2323231231111 1 1 ,11nnnn i nina a aa a aD a a a aa a a????? ? ??????? 將第一行乘（ ?1）后加到其余各行，得 231110 1 0 01 1 .0 0 1 00 0 0 1nnnn i iiia a aD a a????? ? ? ??????? 10. 計算 n 階行列式（其中 0, 1, 2, ,ia i n?? ） . 1 1 1 11 2 32 2 2 21 1 2 2 3 32 2 2 21 1 2 2 3 31 1 1 11 2 3n n n nnn n n nnnnn n n nnnn n n nna a a aa b a b a b a bDa b a b a b a bb b b b? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??. 【解】行列式的各列提取因子 1 ( 1, 2, , )nja j n? ? ,然后應(yīng)用范德蒙行列式 . 3121 2 322223121121 2 311113121 2 311211 1 1 1()( ) .nnnnnnnnnnnnnjinnj i n ijbbbba a a abbbbD a a aa a a abbbba a a abba a aaa??????? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ????? 11. 已知 4 階行列式 41 2 3 43 3 4 41 5 6 71 1 2 2D ? 。1 2 1 0 5 21 2 1 1 0 1 2 1 1 2 3 0 1 40 1 2 3 0 1 2 3D? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?????? 12345 1 1 0 1 5 1 01 1 1 1 2 1 1 118 。2 2 1 1 1 2 1 13 1 2 3 0 3 2 31 1 5 0 1 1 1 52 1 1 1 2 1 1 136 。(1 ) 4 。( 3 ) 3 9 2 7 1 6 .f a a a af a a a af a a a af a a a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 這是關(guān)于四個未知數(shù) 0 1 2 3, , ,a a a a 的一個線性方程組，由于 0 1 2 34 8 , 3 3 6 , 0 , 2 4 0 , 9 6 .D D D D D? ? ? ? ? ? 故得 0 1 2 37, 0 , 5 , 2a a a a? ? ? ? ? 于是所求的多項式為 23( ) 7 5 2f x x x? ? ? 16. 求出使一平面上三個點 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )x y x y x y位于同一直線上的充分必要條件 . 【解】設(shè)平面上的直線方程為 ax+by+c=0 (a,b 不同時為 0) 按題設(shè)有 1122330,0,0,ax by cax by cax by c? ? ???? ? ???? ? ?? 則以 a,b,c 為未知數(shù)的三元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為 1122331101xyxyxy? 上式即為三點 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )x y x y x y位于同一直線上的充分必要條件 . 習(xí)題 二 1. 計算下列矩陣的乘積 . （ 1） ? ?11 3