【正文】 (n?s)) 知 R(B)=r,即 B 行無(wú)關(guān) . 19. 略 .見(jiàn)教材習(xí)題參考答案 . 20. 求下列矩陣的行向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組 . (1)2 5 3 1 1 7 4 37 5 9 4 5 3 1 3 27 5 9 4 5 4 1 3 42 5 3 2 2 0 4 8????????； (2)1 1 2 2 10 2 1 5 12 0 3 1 31 1 0 4 1???????????. 【解】 (1) 矩陣的行向量組1234????????????????的 一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為 1 2 3,? ? ? 。 s 矩陣 R(K)≤ r,∴ R(K)=r. (? )當(dāng) r=R(K)時(shí)，即 K 行無(wú)關(guān)， 由 B=KA=K(As,Ps179。 n 矩陣，故 s 階方陣 As 可逆 . (? )當(dāng) B=KA 行無(wú)關(guān)時(shí)， B 為 r179。 s 矩陣 .證明： B＝ KA 行無(wú)關(guān)的充分必要條件是 R(K)=r. 【證明】設(shè) A=(As,Ps179。 n 矩陣 .證明： m a x { ( ) , ( ) } ( ) ( )R R R R R??? ? ?????AA B A BB. 【證明】因 A,B 的列數(shù)相同，故 A,B 的行向量有相同的維數(shù)，矩陣 ??????AB可視為由矩陣 A 擴(kuò)充行向量而成，故 A 中任一行向量均可由 ??????AB中的行向量線性表示， 故 ()RR??? ????AA B 同理 ()RR??? ????AB B 故有 m a x { ( ) , ( ) }R R R ??? ????AAB B 又設(shè) R(A)=r, 12, , ,i i ir? ? ? 是 A 的行向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 ,R（ B） =k, 12, , ,j j jk? ? ?是 B 的行向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 .設(shè) ? 是 ??????AB中的任一行向量，則若 ? 屬于 A 的行向量組，則 ? 可由 12, , ,i i ir? ? ? 表示，若 ? 屬于 B 的行向量組，則它可由 12, , ,j j jk? ? ? 線性表示，故 ??????AB中任一行向量均可由 12, , ,i i ir? ? ? , 12, , ,j j jk? ? ? 線性表示， 故 ( ) ( ) ,R r k R R?? ? ? ? ?????A ABB 所以有 m a x { ( ) , ( ) } ( ) ( )R R R R R??? ? ?????AA B A BB. 18. 設(shè) A 為 s179。1 2 0 0 1 11 1 1 0 0 01 1 2 1 1 2( , , ) ,1 1 0 10 1 0 0 2abba? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?AB? ? ?? ? ? 而 R(A)=2,要使 R(A)=R(B)=2,需 a?2=0,即 a=2,又 1 2 3 30 1 1 2 1 2 0( , , , ) ,1 2 0 0 1 1 21 1 1 0 0 0 2aab b a? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?c ? ? ? ? 要使 3? 可由 1 2 3,? ? ? 線性表出，需 b?a+2=0,故 a=2,b=0 時(shí)滿足題設(shè)要求，即 3? =(2,2,0). 13. 設(shè) 12, , , n? ? ? 為一組 n 維向量 .證明： 12, , , n? ? ? 線性無(wú)關(guān)的充要條件是任一 n 維向量都可經(jīng)它們線性表出 . 【證明】 充分性 : 設(shè)任意 n 維向量都可由 12, , , n? ? ? 線性表示，則單位向量 12, , , n? ? ? ，當(dāng)然可由它線性表示，從而這兩組向量等價(jià)，且有相同的秩，所以向量組 12, , , n? ? ? 的秩為 n，因此線性無(wú)關(guān) . 必要性 ：設(shè) 12, , , n? ? ? 線性無(wú)關(guān)，任取一個(gè) n 維向量 ? ,則 12, , , n? ? ? 線性相關(guān)，所以 ? 能由 12, , , n? ? ? 線性表示 . 14. 若向量組（ 1， 0， 0），（ 1， 1， 0），（ 1， 1， 1）可由向量組 α１ ,α２ ,α３ 線性表出，也可由向量組 β１ ,β２ ,β３ ,β４ 線性表出，則向量組 α１ ,α２ ,α３ 與向量組 β１ ,β２ ,β３ ,β４ 等價(jià) . 證明： 由已知條件， 1 0 01 1 0 31 1 1R?????????，且 向量組（ 1， 0， 0），（ 1， 1， 0），（ 1， 1， 1）可由向量組 α１ ,α２ ,α３ 線性表出 ，即兩向量組等價(jià)，且 1 2 3( , , ) 3R ?? ? ? ， 又， 向量組（ 1， 0， 0），（ 1， 1， 0），（ 1， 1， 1） 可由向量組 β１ ,β２ ,β３ ,β４ 線性表出 ，即兩向量組等價(jià)，且 1 2 3 4( , , , ) 3R ?? ? ? ? ， 所以 向量組 α１ ,α２ ,α３ 與向量組 β１ ,β２ ,β３ ,β４ 等價(jià) . 15. 略 .見(jiàn)教材習(xí)題參考答案 . 16. 設(shè)向量組 12, , , m? ? ? 與 12, , , s? ? ? 秩相同且 12, , , m? ? ? 能經(jīng) 12, , , s? ? ? 線性表出 .證明 12, , , m? ? ? 與 12, , , s? ? ? 等價(jià) . 【解】設(shè)向量組 12, , , m? ? ? (1) 與向量組 12, , , s? ? ? (2) 的極大線性無(wú)關(guān)組分別為 12, , , r? ? ? (3) 和 12, , , r? ? ? (4) 由于（ 1）可由（ 2）線性表出，那么（ 1）也可由（ 4）線性表出，從而（ 3）可以由（ 4）線性表出，即 1 ( 1 , 2 , , ) .ri i j jj a i r?????? 因（ 4）線性無(wú)關(guān)，故（ 3）線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是 |aij|≠ 0，可 由（ *）解出 ( 1, 2, , )j jr?? ,即（ 4）可由（ 3）線性表出，從而它們等價(jià)，再由它們分別同（ 1），（ 2）等價(jià)，所以（ 1）和（ 2）等價(jià) . 17. 設(shè) A 為 m179。,0 1 0250 0 1???? ????????????AA 12,AA的逆矩陣分別為 11121 0052 3。 (4) ( 1)k k??A . 27. 用矩陣分塊的方法，證明下列矩陣可逆，并求其逆矩陣 . （ 1）1 2 0 0 02 5 0 0 00 0 3 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1??????????； （ 2）0 0 3 10 0 2 12 1 0 02 3 0 0??????????。 (2) 1 9 8 0 03 0 1 3 0 00 0 3 3 1 40 0 5 2 2 2????????B A = 。 (2)BA 。 (3) X= 11104??????。 |A|?1A=E, 所以 (A?1) *=(A*)?1. (3) 因 AA′ =E，故 A 可逆且 A?1=A′ . 由 (2)(A*)?1=(A?1) *,得 (A*)?1=(A′ ) *=(A*)′ . 17. 已知線性變換 1 1 2 32 1 2 33 1 2 32 2 ,3 5 ,3 2 3 ,x y y yx y y yx y y y? ? ???? ? ???? ? ?? 求從變量 1 2 3,x x x 到變量 1 2 3,y y y 的線性變換 . 【解】已知 1122332 2 1,3153 2 3xy? ? ? ???? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?X A Y 且 |A|=1≠ 0,故 A 可逆，因而 17 4 9,6 3 73 2 4????????? ????Y A X X 所以從變量 1 2 3,x x x 到變量 1 2 3,y y y 的線性變換為 1 1 2 32 1 2 33 1 2 37 4 9 ,6 3 7 ,3 2 4 ,y x x xy x x xy x x x? ? ? ???? ? ???? ? ?? 18. 解下列矩陣方程 . (1) 1 2 4 61 3 2 1?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?X=； (2) 2 1 1 2 1 12 1 0 2 1 01 1 1 1 1 1??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?X ； (3) 1 4 2 0 3 11 2 1 1 0 1? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?X=； (4) 0 1 0 1 0 0 0 4 31 0 0 0 0 1 2 0 10 0 1 0 1 0 1 2 0?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?X . 【解】 (1) 令 A= 1213??????。 B*A*=|AB|E(B*A*) =(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A* =(AB) *A|B|EA*=|A|178。 (6) 12111naaa????????????. 15. 利用逆矩陣，解線性方程組 1 2 323121,2 2 1,2.x x xxxxx? ? ?????????? 【解】因 1231 1 1 10 2 2 11 1 0 2xxx??? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ???,而 1 1 1 00221 1 0?? 故 112311101 1 1 1 122.0 2 2 1 1 1 301221 1 0 2 21 1 1 2xxx?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? 16. 證明下列命題： (1) 若 A， B 是同階可逆矩陣，則（ AB） *=B*A*. (2) 若 A 可逆，則 A*可逆且（ A*） ?1=（ A?1） *. (3) 若 AA′ =E,則（ A*）′ =(A*)?1. 【證明】（ 1） 因?qū)θ我夥疥?c，均有 c*c=cc*=|c|E,而 A,B 均可逆且同階，故可得 |A|178。 (4) 1 0 0 01100221 1 102 6 31 5 1 18 24 12 4?????????????????。 (2) 1 2 10 1 20 0 1????????。 (AB+BA)′ =(AB)′ +(BA)′ =B′ A′ +A′ B′ = ?BA+A178。 (AB?BA)′ =(AB)′ ?(BA)′ =B′ A′ ?A′ B′ = ?BA?A178。 B′ = ?B178。5 3 13 1 1?????? ??????A B B A (3) 由于 AB≠ BA,故 (A+B)(A?B)≠ A2?B2. 3. 舉例說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的 . (1) 若 2?AO， 則 ?AO； (2) 若 2?AA， 則 ?AO或 ?AE； (3) 若 AX= AY ， ?AO， 則 X=Y . 【解】 (1) 以三階矩陣為例，取 20 0 1 ,000000??????????0AA,但 A≠ 0 (2) 令 1 1 00000 0 1??????????A ,則 A2=A,但 A≠ 0 且 A≠ E (3) 令 1 1 0 2 1, = ,0 1 1 1 21 0 1 1 0? ? ? ? ?