線性代數(shù)二次型習(xí)題及答案(參考版)
2025-07-01 22:10本頁(yè)面
【正文】 。第六章 二次型 1．設(shè)方陣與合同，與合同，證明與合同. 證：因?yàn)榕c合同，所以存在可逆矩，使， 因?yàn)榕c合同，所以存在可逆矩，使. 令 ，則可逆，于是有 即 與合同. 2．設(shè)對(duì)稱，與合同，則對(duì)稱證：由對(duì)稱，故.因與合同，所以存在可逆矩陣，使，于是即為對(duì)稱矩陣. 3．設(shè)A是n階正定矩陣，B為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：存在n階可逆矩陣P，使均為對(duì)角陣. 證：因?yàn)锳是正定矩陣，所以存在可逆矩陣M，使記，則顯然是實(shí)對(duì)稱矩陣，于是存在正交矩陣Q，使 令P=MQ，則有同時(shí)合同對(duì)角陣. 4．設(shè)二次型，令，則二次型的秩等于. 證：方法一 將二次型f寫(xiě)成如下形式： 設(shè)A= 則 于是 故 = == =X(AA)X 因?yàn)闉閷?duì)稱矩陣，所以就是所求的二次型f的表示矩陣． 顯然()=(A)，故二次型f的秩為(A) ．方法二 設(shè). 記，于是，其中，則. 因?yàn)闉閷?duì)稱矩陣，所以就是所求的二次型f的表示矩陣． 顯然()=(A)，故二次型f的秩為(A) ． 5．設(shè)為實(shí)對(duì)稱可逆陣，為實(shí)二次型，則為正交陣可用正交變換將化成規(guī)范形. 證：設(shè)是的任意的特征值，因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱可逆矩陣，所以是實(shí)數(shù)，且. 因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，故存在正交矩陣，在正交變換下，化為標(biāo)準(zhǔn)形，即 （*） 因?yàn)槭钦痪仃嚕@然也是正交矩陣，由為對(duì)角實(shí)矩陣，故即知只能是或，這表明（*）恰為規(guī)范形. 因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱可逆矩陣，故二次型的秩為. 設(shè)在正交變換下二次型化成規(guī)范形，于是 其中為的正慣性指數(shù)，. 顯然是正交矩陣，由，故，且有，故是正交矩陣. 6．設(shè)為實(shí)對(duì)稱陣，則存在非零列向量，使. 證：方法一 因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱陣，所以可逆矩陣，使其中是的特征值，由，故至少存在一個(gè)特征值，使，取，則有 方法二（反證法） 若，都有，由為實(shí)對(duì)稱陣，則為半正定矩陣，故與矛盾. 7．設(shè)n元實(shí)二次型，證明f在條件下的最大值恰為方陣A的最大特征值． 解：設(shè)的特征值，則存在正交變換，使設(shè)是中最大者，當(dāng)時(shí)，有因此這說(shuō)明在=1的條件下f的最大值不超過(guò)． 設(shè) 則 令，則并且這說(shuō)明f在達(dá)到，即f在條件下的最大值恰為方陣A的最大特征值． 8．設(shè)正定，可逆，則正定. 證：因?yàn)檎?，所以存在可逆矩陣，使，于? ，顯然為可逆矩陣，且，即是實(shí)對(duì)稱陣，故正定. 9．設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則A可逆的充分必要條件為存在實(shí)矩陣B，使AB+正定． 證：先證必要性取，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，則當(dāng)然是正定矩陣．再證充分性，用反證法．若A不是可逆陣，則r（A）n，于是存在因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，B是實(shí)矩陣，于是有這與AB是正定矩陣矛盾． 10．設(shè)為正定陣，則仍為正定陣. 證：因?yàn)槭钦?，故為?shí)對(duì)稱陣，且的特征值全大于零，易見(jiàn)全是實(shí)對(duì)稱矩陣，且它們的特征值全大于零，故全是正定矩陣，為實(shí)對(duì)稱陣. 對(duì)，有 即 的正定矩陣. 11．設(shè)正定，為半正定，則正定. 證：顯然為實(shí)對(duì)稱陣，故為實(shí)對(duì)稱陣. 對(duì)，因，故為正定矩陣. 12．設(shè)階實(shí)對(duì)稱陣的特征值全大于0，的特征向量都是的特征向量，則正定. 證：設(shè)的特征值分別為.由題設(shè)知. 因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，所以存在正交矩陣，使即 為的特征向量，. 由已知條件也是的特征向量，故因此 ，這說(shuō)明是的特征值，且，. 又因?yàn)? .故 ，顯然為實(shí)對(duì)稱陣，因此為正定矩陣. 13．設(shè)為正定矩陣，為非零實(shí)數(shù)，記則方陣B為正定矩陣．證：方法一 因?yàn)槭钦ň仃?，故為?duì)稱矩陣，即，所以，這說(shuō)明B是對(duì)稱矩陣，顯然 = 對(duì)任給的n維向量，因?yàn)榉橇銓?shí)數(shù)，所以，又因?yàn)锳是正定矩陣，因此有 =即B是正定矩陣． 方法二 記則因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，顯然B是實(shí)對(duì)稱矩陣， B的k階順序
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