線性代數(shù)-二次型-課件(參考版)
2024-08-26 20:37本頁面
【正文】 01111?nnnnaaaa????而應(yīng)是負(fù)定的充要條件決不是矩陣 .A正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)： 。此時，容易看出 2?f解 .22 2222 , 434232413121化為標(biāo)準(zhǔn)形把二次型求一個正交變換xxxxxxxxxxxxfPyx???????例 5 二次型的矩陣為,0111101111011110???????????????????A它的特征多項(xiàng)式為.111111111111??????????????? IA有四列都加到第一列上三把二計(jì)算特征多項(xiàng)式 ,: ,1111111111111)1(??????????????? IA有四行分別減去第一行三把二 ,1000212022101111)1(?????????????????? IA1221)1( 2????????????.)1()3()32()1( 322 ???????? ?????.1,3 4321 ????? ????的特征值為于是 A,0)3(,31 ???? xIA解方程時當(dāng) ?,11111??????????????????得基礎(chǔ)解系 .1111211?????????????????p單位化即得,0)(,1432 ????? xIA解方程時當(dāng) ???,1111,1100,0011232??????????????????????????????????????????????? ??? 可得正交的基礎(chǔ)解系單位化即得 ???????????????????????????????????????????????21212121,212100,002121432ppp于是正交變換為???????????????????????????????????????????????yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.3 24232221 yyyyf ????? 且有6例 AxxfA T?階實(shí)對稱矩陣，二次型為已知 3 ? ?.,]1,1,1[31,43321232221QyxQyyyQyxT??????所作的正交變換試求，且中矩陣其化為標(biāo)準(zhǔn)形經(jīng)正交變換????解 兩兩正交，且由，正交知，由 321 ???Q知則由的特征向量為對應(yīng)特征值征向量，設(shè)的特是對應(yīng)于，的特征值為題設(shè)知0,],[144113213????xxxxxAATT??0321 ??? xxx的線性無關(guān)特征向量的對應(yīng)于特征值由此可得 1ATT ]1,0,1[,]0,1,1[ 21 ???? ??經(jīng)正交化、單位化，得TT ]2,1,1[61,]0,1,1[2121 ???? ??為因此，正交變換 Qyx ????????????????????323321232113162316121316121yyxyyyxyyyx六、小結(jié) 1. 實(shí)二次型的化簡問題，在理論和實(shí)際中 經(jīng)常遇到，通過 在二次型和對稱矩陣之間建立一 一對應(yīng)的關(guān)系 ， 將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩 陣化為對角矩陣 ，而這是已經(jīng)解決了的問題，請 同學(xué)們注意這種研究問題的思想方法． 化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出 表示何種二次 ? ? 1, 321 ?xxxf曲面 . ? ?323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf?????? 求一正交變換，將二次型 思考題
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