線性代數(shù)電子教程15(2)(二次型標準化)(參考版)
2025-01-04 11:24本頁面
【正文】 EBEA ?? ???③ 特征值 . ? 合同關系的不變量： )。111)(?????????????D33 解 析：此題的目的是熟悉慣性定理，用慣性 定理解題 . 容易求得 的特征值 ， A3,1,1 321 ???? ???于是可知， 所對應的二次型的正慣性指數(shù) 2?p 1?q為 ；負慣性指數(shù)為 . 合同的二次型應有相同的正、負慣性指數(shù)， 故選 (B). 應選 (B)，理由是 : 34 一、正定二次型的概念 第七節(jié) 正定二次型 定義 設有二次型 ， )( AAAxxf TT ??⑴ 如果對任何 ，都有 0?x 0)( ?xf 0?x 0)( ?xf⑵ 如果對任何 ，都有 ，則稱 為負定二次型，并稱對稱陣 是負定的； f AA陣 是正定的； (顯然 ?)0(f0 )， f則稱 為正定二次型， 并稱對稱 35 說明 ?按定義，當變量取不全為零的值時，二次型 若是正定 ( ) 二次型，則它的對應值總是 正數(shù) ( ) . 負定 負數(shù) ?若 是正定二次型，則 Axxf T? Axxg T??就是負定二次型 . 36 二、正定二次型的性質與判別法 定理 10 二次型 為正定的充要條件 Axxf T?是：它的標準形的 個系數(shù)全為正數(shù)，即它的 n正慣性指數(shù)等于 . 推論 1 正定二次型 (正定矩陣 ) 的秩為 . n推論 2 對稱陣 為正定矩陣的充要條件是： A 的特征值全為正 . A證明 37 定理 11 (霍爾維茨定理 ) ⑴ 對稱陣 為正定的充要條件是： 的各階 主子式都為正 . 即 A A ,011 ?a,022211211 ?aaaa.01111?nnnnaaaa????,?⑵ 對稱陣 為負定的充要條件是： 的奇數(shù) 階主子式為負，偶數(shù)階主子式為正 . 即 A A,0)1(1111??rrrrraaaa????).,2,1( nr ??38 正定二次型的判定： 正定 Axxf T?f?的正慣性指數(shù) np ?A的 個特征值全為正 n f的規(guī)范形為 yyf T?A?合同于單位陣 E UUUAT ,?可逆 A?的各階主子式全為正 證明 39 例 6 判定二次型 的正定性 . xzxyzyxf 44465 222 ??????解 析：此題的目的是熟悉定理 11，用定理 11 判定二次型的正定性 . 的矩陣為 f,402062225??????????????A1 階主子式： ,0511 ???a2 階主子式： 22211211aaa ,0266225 ?????40 3 階主子式： A402062225????,080 ???根據(jù)定理 11知， f為負定 . 41 三、本講小結 ? 個變量的二次齊次函數(shù)稱為二次型 . n? 只含平方項的二次型稱為二次型的標準形， 將二次型化為標準形相當于把二次型的矩陣 合同對角化 . ? 對于任何一個二次型一定存在正交變換將它 化為標準形 . ? 配方法是化二次型成標準形 (或規(guī)范形 )的一 種較方便的方法；慣性定理 . ? 如果 ，總有 (或 )，則稱 二次型 是正定 (或負定 )的，并稱 的矩陣 是正定 (或負定 )的 . 0??x 0)( ?xf 0?f f42 ?矩陣的三大關系： ⑴ 它們的定義 ?存在 階可逆陣 和 階可逆陣 ，使 mPnQ .BPAQ ? , mnMBA ?? 與 等價 AB? , nMBA ?? 與 相似 AB? , nBA ?? 與 正交相似 AB? , nMBA ?? 與 合同 AB? ?存在可逆陣 ，使 .1 BAPP ??P存在正交陣 ，使 .1 BAA T ???Q?存在可逆陣 ，使 .1 BACC ??C等價、相似 (正交相似 ) 、合同 43 ⑵ 關系不變量 ? 等價關系的不變量： ? 相似關系的不變量： ).()( BRAR ?秩，即 )。111)(???????????B 。232221 f ???,0061612121632121???????????????C30 三、慣性定理 定理 9 (慣性定理 ) 設有二次型 ，它 Axxf T?的秩為 ，有兩個可逆變換 r Cyx ?及 Pzx ?使 ,2222211 rr ykykykf ???? ?及 ,22
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