線性代數(shù)電子教程15(2)(二次型標準化)(編輯修改稿)
2025-01-20 11:24 本頁面
【文章內容簡介】 1213162031),( 321 pppP ?則 為正交陣，于是，經正交變換 P?????????????????????39。39。39。zyxPzyx原二次型化為標準形 .39。439。239。 222 zyxf ???21 例 2 已知二次型 的秩為 2. 323121232221 66255 xxxxxxaxxxf ??????⑴ 求參數(shù) 以及此二次型對應矩陣的特征值； a⑵ 指出 表示何種曲面 . 1),( 321 ?xxxf解 ⑴ 二次型 的矩陣 f ???????????????aA33351315r?????????????300120351a因為 的秩為 2， f所以 的秩也為 2，因而 A .3?a22 例2解答 當 時， 的特征多項式為 A3?a ?????????????333351315EA21 rr ? )4(1 ???r?????????333351011)4(??????????363361001)4(),9)(4( ???? ???23 例2解答 于是， 的特征值為 A,01 ?? ,42 ?? .93 ??⑵ 由定理 8知，必存在正交變換 ,321321?????????????????????yyyPxxx其中 為正交矩陣 (不必具體求出 )，使二次型 P于是，曲面 1),( 321 ?xxxf 1),( 321 ?? yyyg .194 2322 ??? yy這表示準線是 平面上橢圓、母線平行于 軸的橢圓柱面 . 32Oyy 1y321 , yyy在新變量 下稱為標準形 .942322 yyf ??24 1y2y 3y1x2x 3x 166255323121232221??????xxxxxxaxxx194 2322 ?? yy?????????????????????321321yyyPxxx25 一、情形 1 第六節(jié) 配方法 的系數(shù) 21x 011 ?a例 3 用拉格朗日配方法化二次型 323121232221 62252 xxxxxxxxxf ??????成標準形，并求所用的變換矩陣 . 解 322322312121 652)22( xxxxxxxxxf ??????3223222321 652)( xxxxxxx ?????? 322322 2 xxxx ??? 3223222321 44)( xxxxxxx ?????? 232232123233223212332222321)2()( 44)2()(4)4()(xxxxx xxxxxxxxxxxxxx????? ?????????????26 用到的線性變換為 ???????????.,2,333223211xyxxyxxxy即 2322321232323223212332222321)2()(44)2()(4)4()(xxxxxxxxxxxxxxxxxxx?????????????????????????????.,2,333223211yxyyxyyyx27 ?????????????????????????????????321321100210111yyyxxx所用的變換矩陣為 于是， 的標準形為 f 。2221 yyf ??,100210111?????????????C).01( ??C28 二、情形 2 的系數(shù) 21x 011 ?a例 4 用拉格朗日配方法化二次型 323121622 xxxxxxf ???成規(guī)范形，并求所用的變換矩陣 . 解 3213212121 )(6)(2))((2 yyyyyyyyyyf ???????先用下面可逆變換，使二次型中 .011 ?a??????????.,33211211yxyyxyyx即 ????????????????????????????????321321100011011yyyxxx32312221 8422 yyyyyy ????29 ????????????????????????????????????3216
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