[理學(xué)]線性代數(shù)第二章(編輯修改稿)
2025-02-15 15:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?????????????，||||2 2 1 0 03 3 0 0 00 0 0 3 7— — — — —B???????????????? ( 注意： A 的列的分法與 B 的行的分法一致 ) 則 33 例 設(shè) A=(aik)m?n， B=(bkj)n?p, 記 則 AB＝ A(?1 , ?2 , ? , ?p) = (A ?1 , A ?2 , ? , A ?p) , , ,iiinibbipb???????????????12134 一矩陣分塊后具有形式： 12rAAAA????????????? ( 其它未寫出的塊均為零塊），則稱其為 對角分塊陣或 準(zhǔn)對角矩陣 . 35 例如，下述矩陣是一對角分塊陣： 1231 0 0 0 0 02 1 0 0 0 03 0 1 0 0 00 0 0 2 0 00 0 0 0 3 5AAAA?????? ??????????????????????? ???36 明顯地 , 若有兩個對角分塊陣 1122, rrABABABAB? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?其中 , Ai與 Bi可相乘 , 則 A與 B可相乘 , 并且 ???????????rrBABABAAB?221137 167。 逆矩陣 定義 一個 n階方陣 A稱為 可逆 的，或稱為 非奇異的 ，如果存在一個 n階方陣 B使得 AB=BA=I 并稱 B是 A的一個 逆矩陣 . 不可逆的矩陣亦稱為 奇異矩陣 . 設(shè) I 是 n 階單位矩陣 . B =( b ij ) m ? n ， C =( c ij ) n ? s ，A= ( a ij ) n ? n ， 則 ,B I B IC C A I IA A? ? ? ? 38 例 證明下述矩陣不可逆 , 即是奇異矩陣 . 1100A ??? ????例 驗(yàn) 證明下述 兩個 矩陣 互為 逆 矩陣 . 3121 , 224321AB??? ?????????? ????? ????39 定理 如一方陣可逆，則其逆矩陣唯一 . 注 ：記可逆矩陣 A的唯一的逆為 A?1. 如矩陣A 可逆，則 A ? 1 也可逆，并且 ? ?AA ?? ?11 A B B A I A C C A I? ? ? ?,所以 A的逆矩陣是唯一的 . 證明 .若設(shè) B和 C是矩陣 A的逆矩陣，則有 于是 B ()CA B? ()C AB? CI? C?IB?40 性質(zhì) 如 n階方陣 A可逆，則其轉(zhuǎn)置矩陣 AT也可逆，并且 性質(zhì) (i) 如矩陣 A可逆，并且滿足矩陣等式 AB=O (或 BA=O), 則 B=O； (ii) 如矩陣 A可逆，并且滿足矩陣等式 AB=AC (或 BA=BC), 則 B=C. ? ? ? ?1 1 TTAA? ??41 性質(zhì) 如 A與 B均為 n階可逆矩陣，則 AB也可逆，并且 (AB)?1=B?1A?1 推廣：如 A1, A2, …, Ak均可逆 , 則積 A1 A2… Ak也可逆，并且 (A1, A2, …, Ak)?1= Ak?1Ak?1?1… A2?1A1?1 注 : 一般地， (AB)?1≠A?1B?1 42 例 設(shè) 其中 di ?0. 試驗(yàn)證 A可逆，并且 1111 21000000nddAd?????????????????12000000nddAd?????????????43 特別地，當(dāng) A 是一 n 階方陣又是一對角分塊陣， 12rAAAA????????????? 并且每一 Ai 均是可逆 (方 )陣，則 A是可逆的 , 并且容易驗(yàn)證 1111 21????????????????? rAAAA44 167。 初等矩陣 初等變換是線性代數(shù)中最重要的工具之一，而初等矩陣是初等變換的矩陣表現(xiàn)．對應(yīng)著三種初等變換，存在三種初等矩陣 ． 45 I型初等矩陣 : 交換單位矩陣第 i行與第 j行相互位置 得到的矩陣稱為 I型初等矩陣 . 記為 P(i, j)， 即 ( , )101101iP i jj???????????????????????46 Ⅱ 型初等矩陣：單位矩陣的第 i 行乘以一個非零 數(shù) c 得到的矩陣稱為 Ⅱ 型初等矩陣 , 記為 P(i(c)), 即 ( ( ) )11P i c c i?????????????????47 Ⅲ 型初等矩陣 單位矩陣的第 i 行乘以數(shù) c 加到第 j 行后得到的矩陣稱為 III型初等矩陣 , 記為 P(i(c), j ), 即 ( ( ) , )1111icjP i c j???????????????????????48 定理 1) 用 P(i, j)左乘一矩陣 , 相當(dāng)于對該矩陣施行了初 等行變換 ri ? rj。 P(i, j)右乘一矩陣 , 相當(dāng)于對該 矩陣施行了初等列變換 ci ? cj ． 2) 用 P(i(k))左乘一矩陣 , 相當(dāng)于對該矩陣施行了初等行變換 kri。 用 P(i(k))右乘一矩陣 , 相當(dāng)于對該矩陣施行了初等列變換 kci ． 3) 用 P(i(k), j)左乘一矩陣 , 相當(dāng)于對該矩陣施行了初等行變換 kri +rj。 用 P(i(k), j)右乘一矩陣 , 相當(dāng)于對該矩陣施行了初等列變換 kcj +ci ． 49 證 1) 僅證明列變換的情形，行變換的情形同理可證． 設(shè) A =( aij)m ? n, P ( i , j ) 的階數(shù)為 n ．則 ( , )i j ni j nm m i m j m na a a aa a a aA P i ja a a a1 1 1 1 12 1 2 2 21101101????????????????????????????????????? j i nj i nm m j m i m na a a aa a a aa a a a11 1 1 121 2 2 21???????????50 11 1 111ini i i i nm m i m na a aka ka kaa a a??????? ?????????? ( ( ) )11 1 11111ini i i i nm mi mna a aP i k A a a aka a a
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