【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3’ 一向量組 不線性相關(guān)，即沒有不全為零的數(shù) 使得 就稱為 線性無(wú)關(guān) ；或者說(shuō) 稱為 線性無(wú)關(guān) ，如果由 s??? , 21 ?skkk , 21 ?02211 ???? sskkk ??? ?s??? , 21 ?02211 ???? sskkk ??? ?可以推出 021 ???? skkk ?如何判斷一個(gè)向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān) 例 14 判斷 是否線性相關(guān)？ 12( 1 , 1 , 2 , 4 ) , ( 0 , 3 , 1 , 2 )??? ? ?3 (3 , 0 , 7 , 1 4 )? ?解 設(shè) 即 0332211 ??? ??? xxx13121 2 31 2 330302 7 04 2 1 4 0xxxxx x xx x x????? ? ???? ? ??? ? ? ?? ? 由消元法可解的方程組有無(wú)窮多組解，故向量組線性相關(guān) , 特別取一組解（ 3， 1， 1）得 ? 一般判別一個(gè)向量組 （ 2） 是否線性相關(guān)，按定理 3，看方程 213 3 ??? ??siaaa iniii ,2,1),( 21 ?? ???02211 ???? sskkk ??? ? 是否有非零解 ， （ 3） 分量形式為： （ 4） 因此 , 向量組 線性無(wú)關(guān)的充要條件是齊次線性方程組（ 4）有非零解 ???????????????????000221122221121221111ssnnnssssxaxaxaxaxaxaxaxaxa?????s??? , 21 ?如果（ 2）線性無(wú)關(guān)，那么在每一個(gè)向量上添加一個(gè)分量得到的 n+1 維的向量組 （ 5） 也線性無(wú)關(guān) .（ 原來(lái)無(wú)關(guān)，延長(zhǎng)無(wú)關(guān) ） 1 2 , 1( , , , , ) , 1 , 2 , ,i i i in i na a a a i s? ???事實(shí)上 ，與向量組（ 5）相對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為 （ 6） ????????????????????????????00001212111221122221121221111ssnnnssnnnssssxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa?????? ? 顯然（ 6）的解全是（ 4）的解， ? 如果（ 4）只有零解，則（ 6）也只有零解 ? 這個(gè)結(jié)論可以推廣到添加幾個(gè)分量上去 如果一個(gè)向量組的一部分線性相關(guān)，那么這個(gè) 向量組線性相關(guān)；換句話說(shuō)，如果一向量組線 性無(wú)關(guān)，那么它的任一個(gè)非空的部分組也線性 無(wú)關(guān)。 （部分相關(guān)，整體相關(guān)；整體無(wú)關(guān)，部 分無(wú)關(guān)） ? 單個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) ； ? 兩個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)分量成比例。 ? n維單位向量組 線性無(wú)關(guān)。 0??n??? , 21 ?向量組等價(jià) ? 定義 9 如果向量組 中每一向量 都可以經(jīng)過(guò)向 量組 線性表出，那么向量 組 就稱為可以經(jīng)過(guò)向量 組 線性表出 . t??? , 21 ?),2,1( tii ???s??? , 21 ?t??? , 21 ?s??? , 21 ? ? 如果兩向量組互相可以線性表出，它們就稱為 等價(jià) 。 ? 每個(gè)向量組都可以由它自身線性表出 ? 如果向量組 可經(jīng)向量組 線性表出， 可 以經(jīng) 線性表出，那么向量組 t??? , 21 ?s??? , 21 ?s??? , 21 ?p??? , 21 ? 可以經(jīng) 線性表出， ? 事實(shí)上 如果 ? 則 t??? , 21 ? p??? , 21 ?sjltikpmmjmjsjiiji,2,1,2,111??????????????tilklkpmmjmsjijsjpmmjmiji,2,1)(1 11 1???? ? ?? ?? ?? ???? ? 向量組等價(jià)性質(zhì) ： 1） 反身性 每一個(gè)向量組都與它自身等價(jià)； 2） 對(duì)稱性 如果向量組 與 等價(jià)，那么 與 等價(jià)； 3） 傳遞性 如果向量組 與 等價(jià)， 與 等價(jià)，那么 與 等價(jià) t??? , 21 ?s??? , 21 ? s??? , 21 ?t??? , 21 ?t??? , 21 ?s??? , 21 ? s??? , 21 ?p??? , 21 ? t??? , 21 ?p??? , 21 ??定理 4 設(shè) 與 是 r??? , 21 ? s??? , 21 ?是兩個(gè)向量組，如果 1）向量組 可以經(jīng) 線性表出， 2） rs， 那么向量組 必線性相關(guān) （ 多的用少的線性表出，多的線性相關(guān) ） r??? , 21 ? s??? , 21 ?r??? , 21 ? ? 證明 由 1）有 為了證明 線性相關(guān)，設(shè) 如果我們能找到不全為零的數(shù) ritsjjjii ,2,11??? ????r??? , 21 ?02211 ???? rrxxx ??? ?rxxx , 21 ?使上式成立，那就證明了 的線性相關(guān)性。 r??? , 21 ? 而 1 1 2 2111 1 1 1( ) 0rsr r i ji jijr s s rji i j ji i ji j j ix x x x tt x t x? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ?因?yàn)?rs， 齊次線性方程組 中未知量個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)，由定理 1，它有非零解。 ???????????????????000221122221211212111rsrssrrrrxtxtxtxtxtxtxtxtxt????? ? 推論 1 如果向量組 可以經(jīng)過(guò)向量組 線性表出，且 線性無(wú)關(guān)，那么 r≤s. ? 推論 2 n+1個(gè) n維向量必線性相關(guān)。 因?yàn)?n+1個(gè) n維向量可由單位向量組線性表出。 ? 推論 3 兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)向量組 ,必含有相同個(gè)數(shù)的向量。 r??? , 21 ?s??? , 21 ?r??? , 21 ?向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 向量組的秩 定義 10 一向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè) 極大線性無(wú)關(guān)組 ，如果這個(gè)部分組本身是 線性無(wú)關(guān)的，并且從這向量組中任意添加 一個(gè)向量（如果有的話），所得到的部分 向量組都線性相關(guān) 如 因?yàn)? 且 線性無(wú)關(guān)，所 以 為一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組， 也是 一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組 . )4,5,2,4(),1,3,1,2( 21 ???? ??213 3 ??? ??)1,4,1,2(3 ????21,??21 ,?? 31,?? ? 任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組等價(jià)；因而，一向量組的任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是等價(jià)的 . （課上證明） ? 結(jié)論： 一向量組的極大線性無(wú)關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量 。 由上結(jié)論和定理 2的推論 3得。 ? 定義 11 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè) 向量組的秩 ? 例如 的秩是 2. ? 一 向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它的秩與它所含向量的個(gè)數(shù)相同 ? 推論 4：等價(jià)向量組必有相同的秩 )4,5,2,4(),1,3,1,2( 21 ???? ??)1,4,1,2(3 ????Back 167。 3 矩陣的秩 ? 矩陣的行秩 =矩陣的列秩 =矩陣的秩 ? 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩 ? 用子式定義矩陣的秩 ? 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的求法 ? 矩陣可以看成行向量組成的，也可看成列向量組成的 . ? 定義 12 所謂矩陣的 行秩 就是指矩陣的行向量組的秩；矩陣的 列秩 就是指矩陣的列向量組的秩 . )0,0,0,0(),5,0,0,0()4,1,2,0(),1,3,1,1(4321????????? 是行向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組 所以 行秩為 3 321 , ???例 18 矩陣 ????????????????0000500041201311A A的列向量組為 線性無(wú)關(guān)， 所以 是列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組， 列秩為 3。 421 , ???)0,5