第六章線性方程組的迭代解法(編輯修改稿)
2024-08-17 00:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ????????4321A求矩陣 A的范數(shù) || A ||p， P＝ 1， 2， ∞。 解 根據(jù)定義 ? ? 6|4||2||,3||1|m a x1 ??????A?????????????????43214231AA T由于 ? ? 7|4||3||,2||1|m a x ???????A?????????20221410則它的特征方程為 : 04302022 1410 2 ???????? ????? AAI T此方程的根為矩陣 ATA的特征值，解得 2 2 1151 ??? 2 2 1152 ??? 因此 ? ? 2 115 212 ???A 在線性方程組的研究中，經(jīng)常遇到矩陣與向量的乘積運(yùn)算，若將矩陣范數(shù)與向量范數(shù)關(guān)聯(lián)起來，將給問題的分析帶來許多方便。設(shè) ||||是一種向量范數(shù)，由此范數(shù)派生的矩陣范數(shù)定義為 xAxAx 0m a x?? 注意 ， 此式左端 ||A||表示矩陣范數(shù) ， 而右端是向量Ax 和 x 的范數(shù) ， 利用向量范數(shù)所具有的性質(zhì)不難驗(yàn)證 ， 由上式定義的矩陣范數(shù)滿足矩陣范數(shù)的條件 。 nRxxAAx ??? ,通常將滿足上式的矩陣范數(shù)稱為與向量范數(shù) 相容的矩陣范數(shù) 。 可以證明 ， 前述的三種矩陣范數(shù) || A ||p， P＝ 1， 2，∞， 就是由向量范數(shù) || x ||p派生出的矩陣范數(shù) ， 即 ????,2,1,m a x0pxAxAppxp通過向量范數(shù)定義的矩陣范數(shù)，滿足不等式關(guān)系： 均為 相 容范數(shù)，即 ??? ,2,1, pxAAx ppp211,2????????? ??njiijF aA另一種常用的矩陣范數(shù)稱為 F范數(shù) ，定義為 它僅與向量的 2范數(shù)相容 ， 即成立 22 xAAx F?三、矩陣的譜半徑 矩陣范數(shù)同矩陣特征值之間有密切的聯(lián)系 ， 設(shè) λ是矩陣 A相應(yīng)于特征向量 x的特征值 ， 即 Ax＝ λx 利用向量 矩陣范數(shù)的相容性，得到 |λ| || x ||＝ ||λx|| 從而，對 A的任何特征值 λ均成立 =|| Ax|| ≤ || A || ||x|| |λ|≤|| A || （ ）
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