[研究生入學考試]高等代數(shù)考研輔導第3講線性方程組(編輯修改稿)
2024-11-15 01:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 則 即為:有解 可由列向量組 線性表出11) , , , , .nnb ? ? ? ?? ? ?有唯一解 可由列向量組 線性表出且形式唯一 線性無關11( ) , , , ,nnb ? ? ? ?? ? ?有無窮多解 可由列向量組 線性表出且形式不唯一 線性相關.0 ( ) 。4 . 0 0 。0,.nnsnA X r A nA X AA X s n? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??(1) 有非零解 齊次線性方程組 ( 2 ) 有非零解(3) 如果 有非零解. 11111( 1 ) , ,0 , ,( 2 ) 0 , ,0 0 , 0:0: , , , ,tttttAXAXA X A X A Xn r AA X t n r A??????? ? ? ??? ???? ? ????5. 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性無關(1) 基礎解系: 的解 稱為基礎解系, 若的任一解都可由 線性表出(2) 的解的線性組合還是 的解即 的解的全體構(gòu)成一個解的向量空間.1 任意 ( ) 個線性無關的解都是基礎解系(3) 的基礎解系的個數(shù) = ( ) , 且有2 與 都是基礎解???? 系 它們等價? ?10。0,0 | 0: , , ,tA X b A XA X b A X A X bA X b A X b A X bA X A X b A XA X b? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?000006. 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(1) 兩個解的差是導出組 的解 的一個解與導出組 的一個解的和是 的解(2) 在 有解的情況下: 設 是 的一個特解 則 的任一個解 可表示為 ,其中 為 的解, 即 的解集為 是 的解 且一般不是線性空間.(3) 的解集合的一個極大線性無關組為1, , , ,0.tA X bAX? ? ? ???00其中 為 的特解為導出組 的一個基礎解系四、歷年真題講解. (6 , 4 , 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 0 , 2 , 3 , 4 ) ,( 1 , 4 , 9 , 1 6 , 2 2 ) , (7 , 1 , 0 , 1 , 3 )????? ? ? ?? ? ? ? ? 1234例3 1 用消元法求下列向量組的極大線性無關組: 1 2 3 41 2 3 41 2 3 421. 2 1 .2 5 5x x x xx x x xx x x x? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??例3 2 判斷方程組 的可解性并求其解231 2 3231 2 3231 2 3. , , .x a x a x ax b x b x b a b cx c x c x c? ? ? ??? ? ??? ? ? ??例3 3 解線性方程組 其中 是互不相等的常數(shù)1 2 3 1 2 2 3 1 3. , , , , .? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?例3 4 線性無關 線性無關11 2 2 3 1 11 1 2 2 3 1. , , , , , , .( 2 ) , , , , ,nnnnn n??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?例3 5 設 為一組向量, 證明(1) 線性無關 線性無關線性無關, 線性無關( 相關) 為奇數(shù)( 偶數(shù)) .39。39。. ) ) ( ) .A m n A A A A A? ? ?例3 8 設 是 階實矩陣, 證明: 秩( 秩( 秩1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 42 3 02 6 4 1. , .3 2 7 16x x x xx x x xptx x p x xx x x x t? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??例3 6 設 試討論 取什么值時, 方程組有解或無解, 并在有解時求其全部解. 7 0 0 .TA m n A X A A X? ? ?例3 設 是 階實矩陣, 證明: 線性方程組 與 同解1 1 12. 9 , , , , , ( 1 ), , , .n m kknkm? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?例3 設向量組 線性無關, 可由 線性表出則 使得 線性無關1 1 111. 1 0 , , , , , , , , , , , , , , , .n n nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?例3 設 線性無關, 而 線性相關 則 至少有一個可以被 線性表出或者 與 等價1 1 1 1 1 11 1 1 1.1 1 , , 2 , , , , ,.m m m mm m m m mm k k kk? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ???例3 設向量組 ( ) 中 0 , 證
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