[研究生入學(xué)考試]高等代數(shù)考研輔導(dǎo)第3講線性方程組(已修改)
2024-10-31 01:17 本頁面
【正文】 第三講線性方程組 基本內(nèi)容及歷年真題 一、概念與解法12111.....nnij m nn n n nmnnnnnnnA m n m na a aa a am n A aa a aP m n Pm n P n n I EPP?????????????????????1 1 1 2 12 1 2 2 2矩陣(1) 由 個數(shù)排成 行 列的表: 稱為一個 矩陣, 記作 ( )(2) 數(shù)域 一切 矩陣組成的集合, 記為(3) 當(dāng) 時, 稱為 方陣構(gòu)成的集合 階單位矩陣記作 或(4) 或 中元素稱 .1 , 1 , , 1 .ni k k k mii? ? ????為 維向量() 第 行的首非零元前的零元個數(shù)大于第 行的這種零元個數(shù)(5) 階梯形矩陣:() 如果某行沒有非零元則其下所有行的元全為零.2., 1 0 , .00i j m nmnA a A r r A r r A rA r AA r A????????矩陣的秩(1) 設(shè)非零矩陣 ( ) 中若存在一 階子式不為0 , 所有 階子式都等于 則稱 的秩為 記作( ) =(2) 若 ( ) = 0 .(3) 若 ( ) = 03.:()()(), . , , .mnA P AiAi i P Ai i i A AAA B A B A B A B B C A CA????矩陣初等變換(1) , 的行初等變換是指以下三種之一換法變換:交 換矩陣 中的兩行或列。倍法變換:用 中一個非零數(shù) 乘 的某一行(或 列) 。消法變換:把 中某行( 或列)的 倍加到 的另一行(或 列) 上去.(2) 的行變換或列變換,統(tǒng)稱為初等變換.(3) 經(jīng)過若干次初等變換得到矩陣 稱 與 等價記作 若 則(4) 任何矩陣 都可經(jīng)過若干次 行初等變換, 化為階梯形矩陣.1122 39。39。 39。 39。4.:.( ) ( 1 ).( ) , ( , , , ) ( , , , ) , .( 2 )nnnnm m m n n mij m n n ma x a x a x ba x a x a x bia x a x a x bii A a x x x x B b b b A x B?? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ?11 1 12 221 1 22 21 1 2 21 2 1 2線性方程組(1) 線性方程組的四種表述標(biāo)準(zhǔn)形 。矩陣型: 令 ( ) 。 則方程組( 1 ) 可表示為39。39。39。39。39。( 5 ) ( 2 ) ( 2 ), ( 2 ) 。, ( 2 ) 。, ( 2 )A x B A m n m ni r A r A nii r A r A nii i r A r A???___在線性方程組 中, 若 為 矩陣,則 方程組 有 個方程, 個未知數(shù),則 的解情況如下: ( ) 若 ( )= ( )= 則方程組 有唯一解 ( ) 若 ( )= ( ) 則方程組 有無窮多個解 ( ) 若 ( ) ( ) 則方程組 無解.139。39。1 2 1 1 2 2239。 39。 39。 39。 39。1 2 2( ) , , , ( 1 ) .( 3 )( ) .( 4 )nnnn n nmm mnnaaaa a aiii a a a x a x a x a Baa aiv x a x a x a B??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?11 1 1 22 1 2 2 21列向量型: 則方程組 又可表示為行向量型:39。( 2 ) ( 2 ) 0 , 0 , 0 , .B A x B? ? ?在方程組 中, 若 即 稱為齊次線性方程組. 若 稱為非齊次線性方程組39。39。( 3 ) ( 2 ) ( , ) ( 2 )A A B?_在方程組 中, 稱 為 的增廣矩陣.(4 ) 0 .A x A x B??稱 為 的導(dǎo)出組( 6 ) 0,0A x A m ni r A n A xii r A n A x????在線性方程組 中, 若 為 矩陣, 其解的情況如下: ( ) 若( ) = 則方程組 有唯一解。 ( ) 若( ) 則方程組 有無窮多個解, 從而有非零解.12125 . , . 0 , :, , , , ( 1 , 2 , , ) .nniA n n A x B A A x Bx x xA A i B A n i n? ? ? ????? ? ?? ? ?? ? ? ?克萊姆法則: 設(shè) 是 矩陣 線性方程組 若 方程組 有唯一解 其中 為 中第列換為 其它各列與 相同的 行列式.6.( ) ( , ) 。( ) 。( ) 。(
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