[研究生入學(xué)考試]線性代數(shù)——二次型(已修改)
2024-10-31 01:17 本頁面
【正文】 ? ?nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,?????????????稱為 n元二次型 .簡(jiǎn)稱二次型。 的二次齊次函數(shù)個(gè)變量含有定義 nxxxn , 1 21 ?。 , 稱為是復(fù)數(shù)時(shí)當(dāng) fa ij 復(fù)二次型. , 稱為是實(shí)數(shù)時(shí)當(dāng) fa ij 實(shí)二次型每項(xiàng)都是二次的多項(xiàng)式稱為二次型（或二次齊式） ? ? 31232221321 4542, xxxxxxxxf ????? ? 323121321 , xxxxxxxxxf ???例如 都為實(shí)二次型 ； nn xxaxxaxaf 1121122111 ???? ?nn xxaxaxxa 2222221221 ???? ??? 22211 nnnnnnn xaxxaxxa ???? ?)()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax?????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx?????22112222121121211121 ),(二次型的表示方法 ., 為對(duì)稱矩陣其中則二次型可記作 AAxxf T?,21212222111211??????????????????????????????nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA????????記? ??????????????????????????????nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx?????????2121222211121121,例 將二次型 yzxyzxf ???? 43 22用矩陣表示。 ??????????????????????????zyxzyxf32102102021),(二次型的矩陣及秩 在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型， 就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì) 稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型．這樣，二 次型與對(duì)稱矩陣之間存在 一一對(duì)應(yīng) 的關(guān)系． 。 的矩陣叫做二次型對(duì)稱矩陣 fA。 的二次型叫做對(duì)稱矩陣 Af. 的秩的秩叫做二次型對(duì)稱矩陣 fA解 ,a,a,a 321 332211 ????,aa 22112 ?? ,aa 03113 ??.aa 33223 ???.330322021??????????????? A.6432 3221232221的矩陣寫出二次型xxxxxxxf ?????例 2 ???????????????????nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx????????????????22112222121212121111,合同變換 設(shè)有一個(gè)可逆的線性變換， ),( cC ij?記 記作則上述可逆線性變換可 Cyx ?Axxf T?有將其代入 , Axxf T?? ? .yACCy TT?? ? ? ?CyACy T?? ? ,TTT T TB C A C A CB C A C C A C B B?? ? ?記 其 中 為 對(duì) 稱 矩 陣 ， 可 逆 ， 則即 也 為 對(duì) 稱 矩 陣 ， 1 1( ) , ( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( ) ,TTB C A C A C B C R B R AR A R B R A R B? ? ???又 且 可 得同 時(shí) 成 立 ， 所 以 ，()TTy C AC y由 此 可 見 ， 經(jīng) 過 上 述 可 逆 線 性 變 換 ，仍 為 二 次 型 ， 而 且 二 次 型 的 秩 不 變
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