[研究生入學考試]線性代數(shù)——二次型(編輯修改稿)
2024-11-15 01:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ??令得,051522?????????? ??? ,3232311???????????? .4554544523??????????????.45503245451324525231??????????????P 所以4．將正交向量組單位化，得正交矩陣 P于是所求正交變換為 ,45503245451324525231321321??????????????????????????????????yyyxxx.18189 232221 yyyf ???且有2 配方法 322331222121 65222 xxxxxxxxxf ??????例 化二次型為標準形 1x解：將 的項歸并起來 ， 得 23223213223222321)2()(44)(xxxxxxxxxxxxf??????????????????????????????????33322321133322321122yxyyxyyyxxyxxyxxxy令 ????????????????????????321100210111yyyCYX2221 yyf ??經(jīng)過可逆線性變換 將二次型化為標準型： 323121 622 xxxxxxf ?????????????33212211yxyyxyyx3213212121 )(6)(2))((2 yyyyyyyyyyf ???????32312221 8422 yyyyyy ????例 化二次型為標準形 解 f不含平方項，含有 x1,x2的乘積項，因此先用代換產(chǎn)生平方項 23232231 6)2(2)(2 yyyyyf ??????????????????????????333223113332231122zyzzyzzyyzyyzyyz232221 62 zzzf ?????????????????????????100210101100011011C再配方，得 則有 令 所求得可逆變換矩陣為 說明：用配方的方法化二次型為標準型方法： 1） 、 若二次型不含平方項 ， 僅含乘積項 ， 先引入代換產(chǎn)生平方項后 ， 再配方； 2） 、 若二次型含平方項 ， 集中含有平方項的某一個變量所有項的平方 ， 對余下的變量同樣進行配方作平方和 。 注：用配方法作的變換是可逆變換 ， 但是不一定是正交變換 ， 因此標準型中平方項前的系數(shù)不一定是特征值 。 化為標準型，并指出 表示何種二次 ? ? 1, 321 ?xxxf曲面 . ? ?323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf?????? 求一正交變換，將二次型 思考題 思考題解答 ,333351315 ???????????????A二次型的矩陣為解),9)(4()d e t ( ???? ???? AE可求得,9,4,0 321 ??? ???的特征值為于是 A.111,011,211 321????????????????????????????????? ?? ppp對應特征向量為將其單位化得,626161 111?????????? ???ppq ,021
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