【文章內(nèi)容簡介】 , ?n, 則有 : (1) ?1 + ?2 + + ?n = a11 + a22 + + ann。 (2) ?1 ?2 ?n = | A |. ?? ?? ?? 31 13例 1: 求 ??????? ? 31 13 的特征值和特征向量 . 解 : A的特征多項式為 : = (3–?)2 –1 所以 , 該 方陣 A的特征值為 : ?1 = 2, ?2 = 4. ,00231 12321 ??????????????????? ?? ??xx當 ?1 = 2 時 , 對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 : ???????? 002121xxxx,11??????即 解得 x1=x2, 故特征值 ?1=2對應(yīng)的特征向量為 : x=c ,00431 14321 ??????????????????? ?? ??xx當 ?1 = 4 時 , 對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 : = 8 – 6? + ?2 = (4 – ?)(2 – ?) (c?0). ???????002121xxxx,11???????即 解得 x1=x2, 故特征值 ?2=4對應(yīng)的特征向量為 : x=c 由于特征方程 | A–?E | = 0, 故齊次方程組 (A–?E)x = 0 有非零解 . 因此 , 求出特征值 ?i 對應(yīng)的基礎(chǔ)解系即可求出所有 特征向量 . ??????????201034011例 2: 求矩陣 A = 的特征值和特征向量 . 解 : 矩陣 A的特征多項式為 : ????????201034011| A–?E | = = (2–?)(1–?)2, 所以 A的特征值為 : ?1=2, ?2=?3=1. (c?0). 當 ?1=2時 , 解方程組 ( A–2E )x = 0. 由 ,0000100010010140132 ~ ???????????????????? EA.1001 ?????????p得基礎(chǔ)解系 當 ?2=?3=1時 , 解方程組 ( A–E )x = 0. 由 ,000210101101024012~ ???????????????????? EA故對應(yīng)特征值 ?1=2的所有特征向量為 kp1 (k?0). .1212 ???????????p得基礎(chǔ)解系 故對應(yīng)特征值 ?2=?3=1的所有特征向量為 kp2(k?0). ??????????314020112????????314020112例 3: 求矩陣 A = 的特征值和特征向量 . 解 : 矩陣 A的特征多項式為 : | A–?E | = = –(1+?)(2–?)2, 所以 A的特征值為 : ?1=–1, ?2=?3=2. 當 ?1=–1時 , 解方程組 ( A+E )x = 0. 由 ,000010101414030111~ ???????? ????????????? EA.1011 ?????????p得基礎(chǔ)解系 故對應(yīng)特征值 ?1=–1的所有特征向量為 kp1(k?0). ,0000001141140001142 ~ ???????? ????????????? EA當 ?2=?3=2時 , 解方程組 ( A–2E )x = 0. 由 得基礎(chǔ)解系 故對應(yīng)特征值 ?2=?3=2的所有特征向量為 k2 p2 + k3 p3 (k2, k3不同時為零 ). 例 4: 證明 : 若 ?是矩陣 A的特征值 , 則 (1) ?m是矩陣 Am的特征值 (m為正整數(shù) )。 (2) 當 A可逆時 , 則 ?1是逆陣 A1的特征值 . 證明 (1): 由于 ?是矩陣 A的特征值 , 設(shè) x是 A的對應(yīng)特征值 ?的特征向量 , 則 Ax=?x. ,10412 ?????????p ,01413 ?????????p所以 , A2x = A(Ax) = A(?x) = ?(Ax) = ?2x. 即 , ?2是矩陣 A2的特征值 . 依此遞推得 , ?m是矩陣 Am的特征值 (m為正整數(shù) ). 由此我們還證明了 : 若 x是 A的屬于特征值 ?的特征向量 , 則 x也是矩陣 Am的屬于特征值 ?m的特征向量 . 證明 (2): 當 A可逆時 , 則 ??0, 則由 Ax=?x 可得 , x = A1(Ax) = A1(?x) = ?(A1x). 所以 , A1x = ?1x 由此我們還證明了 : 若 x是 A的屬于特征值 ?的特征向量 , 則 x也是矩陣 A1的屬于特征值 ?1的特征向量 . 還可以類推 : 若 ?是矩陣 A的特征值 , 則 ?(?)是 矩陣多項式 ?(A)的特征值 , 其中 ?(?)=a0+a1?++am?m, ?(A)=a0E+a1A++amAm. 二、特征值和特征向量的性質(zhì) 證明 :設(shè)有常數(shù) x1, x2, , xm, 使 則在上式左乘 A得 , 即 類推之 , 有 .0222111 ???? mmkmkk pxpxpx ??? ? 定理 2: 設(shè) ?1, ?2, , ?m是方陣 A的 m個特征值 , p1,p2, , pm是與之對應(yīng)的特征向量，如果 ?1, ?2, , ?m互不相等，則 p1, p2, , pm線性無關(guān) . x1p1 + x2p2 + + xmpm = 0, A(x1p1 + x2p2 + + xmpm)= 0, ?1x1p1 + ?2x2p2 + + ?mxmpm = 0, (0) (1) (k) (k=0, 1, 2, , m–1) 把上面 m個向量方程合寫成矩陣形式 , 得 ???????????????1122111111mmmmm???????????? 上式等號左端第二個矩陣的行列式為 范德蒙 行列式 , 當 ?1, ?2, , ?m各不相等時 , 該行列式不等于 0, 從而該矩陣可逆 . ( x1p1, x2p2, , xmpm ) = (0, 0, ,0) 于是有 = (0, 0, ,0) 即 xj pj = 0 (j=1, 2, , m). 但 pj ? 0 (j=0, 1, 2, , m). ( x1p1, x2p2, , xmpm ) 故 xj = 0 (j=1, 2, , m). 所以 , 向量組 p1, p2, , pm線性無關(guān) . 注 1: 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的 。 注 2: 屬于 同一特征值 的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量 。 注意 3: 矩陣的特征向量總是 相對于矩陣的特征值而言的 , 一個特征值具有的特征向量不唯一 , 但一個特征向量不能屬于不同的特征值 . 因為 , 假設(shè)向量 x同時是 A的屬于不同的特征值 ?1, ?2 (?1??2)的特征向量 , 即有 Ax = ?1x, Ax = ?2x, 則有 , ?1x = ?2x. 即 ( ?1 – ?2 ) x = 0. 由于 ( ?1 – ?2 ) ? 0, 則 x = 0, 這與 x是特征向量 矛盾 . 例 5: 設(shè) n階方陣 A的特征多項式為 ,||)( 0111 aaaEAf nnnA ??????? ?? ????? ?解 : ||)( EAf TA T ?? ?? |)(| TEA ??? || EA ???求 AT的特征多項式 . ,)( 0111 aaaf nnnA ?????? ?? ???? ?例 6: 設(shè) ?1和 ?2是矩陣 A的兩個不同的特征值 , 對應(yīng)的特 征向量依次為 p1和 p2, 證明 p1+p2不是 A的特征向量 . 證明 : 按題設(shè) , 有 Ap1= ?1p1, Ap2= ?2p2, 故 A(p1+p2)= ?1p1+?2p2. 用反證法 , 假設(shè) p1+p2是 A的特征向量 , 則應(yīng)存在數(shù) ?, 使 A(p1+p2)= ?(p1+p2), 于是 ?(p1+p2)= ?1p1+?2p2, 即 (?1－ ?)p1+(?2－ ?)p2=0, 因 ?1??2, 按定理 2知 p1, p2線性無關(guān) , 故由上式得 ?1－ ?=?2－ ?=0, 即 ?1=?2, 與題設(shè)矛盾 . 因此 p1+p2 不是 A的特征向量 . 三、小結(jié) 求矩陣特征值與特征向量的步驟： A的特征多項式 | A–?E | 。 2. 求特征方程 | A–?E | = 0的全部根 ?1, ?2, , ?n, 也就是 A的全部特征值 。 3. 對于特征值