[研究生入學考試]線性代數(shù)——二次型-文庫吧
2025-09-20 01:17 本頁面
【正文】 ， 變 換 前 后的 兩 個 二 次 型 的 矩 陣 有 下 面 所 定 義 的 合 同 關 系 ：定義 . 對于 n階矩陣 A和 B,如果存在 n階可逆矩陣C,使得 B=CTAC,就稱 A合同于 B,記作 A≌ B，對 A進行運算稱為對 A進行合同變換 . 矩陣間的合同關系具有反身性 ,對稱性 ,和傳遞性 . 定義 只含有平方項的二次型 2222211 nn ykykykf ???? ?稱為二次型的標準形（或法式）． ? ? 232221321 44, xxxxxxf ???為二次型的標準形 . 化二次型為標準型 例如 若標準形的系數(shù)只取 1， 1， 0，即 2 2 2 211 p p rf z z z z?? ? ? ? ? ?稱為二次型的規(guī)范形 。 要使二次型 經(jīng)可逆線性變換 x=Cy化為標準形 ,就是要使 12( , , , )Tnf x x x x A x??2 2 21212T TnnA Cy y y yy C k k k? ? ? ? ?,),(212121????????????????????????????yyykkkyyynnn ???.成為對角矩陣也就是要使 ACC T( , , , ) ( ) ( )12 TTf x x x x A x Cy A Cyn? ? ? 因此，化二次型為標準形就是對于對稱矩陣 A尋找可逆矩陣 C，使與 A合同的矩陣 CTAC為對角陣。 有型把此結(jié)論應用于二次即使總有正交矩陣陣由于對任意的實對稱矩,.,1 ????? APPAPPPAT 1 正交變換法 定理 對于任一個 n元二次型 1211( , , , )nnTn ij i jiif x x x a x x x A x??? ? ???總有正交變換 x=Py(P為 n階正交矩陣），使 f(x1,x2,…,x n)化為標準形 常見的化二次型為標準形的方法 ? ? ? ?12( , , , ) ( )TT T Tnf x x x x A x P y A P y y P A P y? ? ? ?2 2 21 1 2 2 ,nny y y? ? ?? ? ? ?其中 λ1, λ2， … λn是實對稱矩陣 A的特征值， P的 n個列向量 p1,p2,…p n是 A的對應于特征值 λ1, λ2， … λn的兩兩正交的單位特征向量 . 推論 對于任一個 n元二次型 12( , , , ) Tnf x x x x A x??總有可逆線性變換 x=Cz，使 f(Cz)為規(guī)范形。 用正交變換化二次型為標準形的具體步驟 。,.1 AAxxf T 求出將二次型表成矩陣形式 ? 。,.2 21 nA ??? ?的所有特征值求出 。,.3 21 n??? ?征向量求出對應于特征值的特 ? ?。,,,.4212121nnnC ?????????????記得單位化正交化將特征向量 .,.52211 nn yyffCyx?? ?????的標準形則得作正交變換 解 1．寫出對應的二次型矩陣，并求其特征值 ?????????????????144241422217A144241422217????????? AE ? ? ? ?918 2 ???? ??.,844141417 323121232221化成標準形通過正交變換將二次型Pyxxxxxxxxxxf???????例 3 從而得特征值 .18,9 321 ??? ???? ? 得基礎解系代入將 ,091 ??? xAE??2．求特征向量 ? ? 得基礎解系代入將 ,01832 ???? xAE???,)0,1,2(2 ?? T? .)1,0,2(3 ?? T?3．將特征向量正交化 ,11 ?? ? 取.1111????????????????,22 ?? ?? ?? ? ,2223233 ??????? ??得正交向量組 .)1,54,52(3 ??? T?,)0,1,2(2 ?? T? ,)1,1,21(1 T??? ? ,3,2,1, ?? iiii ?
教學課件相關推薦
鄂ICP備17016276號-1