[研究生入學(xué)考試]線性代數(shù)167-文庫吧
2025-09-20 01:17 本頁面
【正文】 , br 的過程稱為 施密特 (Schimidt)正交化過程 . 例 3: 用施密特正交化方法 , 將向量組 a1=(1, 1, 1, 1), a2=(1, 1, 0, 4), a3=(3, 5, 1, 1) 正交規(guī)范化 . 解 : 先 正交化 . 1112122 ],[],[ bbbabab ??)1,1,1,1(1111 411)4,0,1,1( ??? ????? ),3,1,2,0( ???取 b1= a1=(1, 1, 1, 1), 222321113133 ],[],[],[],[ bbbabbbbabab ???)3,1,2,0(14 14)1,1,1,1(48)1,1,5,3( ???????),0,2,1,1( ??再 單位化 . 得規(guī)范正交向量組如下 : ),143,14 1,14 2,0()3,1,2,0(141||||222???????bbe).0,62,61,61()0,2,1,1(61||||333?????bbe),21,21,21,21()1,1,1,1(21||||111 ??? bbe例 4: 設(shè) ,014,131,121321 ?????????????????? ???????????? aaa試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化 . bb baab 1211222 ||||],[?? ?????????????????? ??12164131。11135??????????bb babb baab 2223111333 ||||],[||||],[ ???解 : 先 正交化 . 取 b1= a1 ???????? ??????????????????????1113512131014.1012 ?????????,121??????????|||| 111 bbe ? ,12161??????????|||| 222 bbe ? ,11131???????? ??|||| 333 bbe ? .10121?????????再 單位化 . 得規(guī)范正交向量組如下 : 故 , e1, e2, e3 即為所求 . 例 5: 已知 ,1111 ?????????a求一組非零向量 a2, a3, 使 a1, a2, a3兩兩正交 . 解 : 非零向量 a2, a3應(yīng)滿足方程 a1Tx = 0, 即 x1+ x2+ x3= 0. .110,10121 ???????????????????? ??它的基礎(chǔ)解系為 : 把基礎(chǔ)解系正交化 , 即為所求 . 亦即取 ,12 ??a .],[ ],[ 1112123 ?????? ??a其中 [?1, ?2]=1, [?1, ?1]=2, 于是得 ,1012 ??????????a .12121101211103 ???????????????????????????????aa1a3a2b1c2b2c3 c31c32b3例 4 的幾 何 解 釋 ,|||| ],[||||]||||,[ 12112111122 bbbabbbbac ?? b2 = a2 – c2, c2為 a2在 b1上的投影向量 , 即 b1 = a1, b3 = a3 – c3, c3為 a3在 b1, b2所確定的平面上的投影向量 , 由于 b1?b2, 故 c3等于 a3分別在 b1, b2上的投影向量c31及 c32之和 , 即 32313 ccc ?? ,||||],[||||],[2222312113 bbbabbba ??四、正交矩陣與正交變換 定理 : A為正交矩陣的充要條件是 A的列向量都是單位向量且兩兩正交 . 若 n階方陣 A滿足 ATA = E, 即 A1=AT, 則稱 A為 正交矩陣 . 證明 : 由于 Eaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnn????????????????????????????????????????212222111211212221212111ATA = E ? ? EnTnTT???????????? ??????, 2121??? ? .,2,1,01 njiji jiijjTi ????? ????? ???EnTnTnTnnTTTnTTT??????????????????????????????????????212221212111性質(zhì) 1: 正交變換保持向量的長度不變 . .|||||||| xxxPxPxyyy TTTT ???? 定義 : 若 P為正交陣 , 則線性變換 y = Px 稱為正交變換 . 證明 : 設(shè)線性變換 y = Px為正交變換 . 則有 性質(zhì) 2: 設(shè) A為正交矩陣 , 則 A1=AT也為正交矩陣 , 且 |A|=1或 –1. 性質(zhì) 3: 設(shè) A,B都是正交矩陣 , 則 AB也為正交矩陣 . EAAEAAEAA TTTT ???? )(,1例 6: 判別下列矩陣是否為正交陣 . ? ? ,1213121121312111???????????????????? ? .9794949491989498912??????????????????????解 (1): 考察矩陣的第一列和第二列 . ,021311)21()21(1 ????????所以 (1)不是正交矩陣 . 由于 解 (2): 注意到 , 該矩陣為對稱矩陣 , 則有 ?????????100010001T??????????????74441848191??????????????74441848191所以 (2)是正交矩陣 . 例 7: 驗證矩陣 ?????????????????????????2121000021212121212121212121P 解 : P 的每個列 (行 )向量都是單位向量 , 且兩兩正交 , 所以 P是正交矩陣 . 是正交矩陣 . 五、小結(jié) 1. 將一組基規(guī)范正交化的方法 : 先用施密特正交化方法將基正交化 , 然后再將其單位化 . 2. A為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立 : (1) A1=AT。 (2) ATA=E。 (3) A的 列 向量是兩兩正交的單位向量 。 (4) A的 行 向量是兩兩正交的單位向量 . 167。 方陣的特征值與特征向量 一、特征值與特征向量的概念 定義 : 設(shè) A是 n階方陣 , 如果數(shù) ?和 n維 非零列向量 x使關(guān)系式 Ax = ?x 成立 , 那末這樣的數(shù) ?稱為方陣 A的 特征值 , 非零向量 x稱為 A的對應(yīng)于特征值 ?的 特征向量 . 說明 1: 特征向量 x ? 0, 特征值問題是對方陣而言的 。 說明 2: n階方陣 A的特征值 , 就是使齊次線性方程組(A–?E)x = 0 有非零解的值 ?, 即滿足方程 | A–?E | = 0 的 ?都是矩陣 A的特征值 . 0212222111211???????nnnnnnaaaaaaaaa??????說明 3: 方程 | A–?E | = 0 ? 稱以 ?為未知數(shù)的一元 n次方程 | A–?E | = 0為方陣A的 特征方程 . 記 f(?) = | A–?E |, 它是 ?的 n次多項式 , 稱其為方陣A的 特征多項式 . n次代數(shù)方程有 n個根 (復(fù)根和實根 , 重根按重數(shù)計算 ). 說明 4: 設(shè) n階方陣 A=(aij)的特征值為 ?1, ?2,
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